2012年高考数学 考点9 函数与方程、函数模型及其应用.doc

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1、考点9函数与方程、函数模型及其应用一、选择题1.（2012·湖北高考理科·Ｔ9）函数f（x）=xcosx²在区间[0,4]上的零点个数为A.4B.5C.6D.7【解题指南】本题考查函数零点的定义,转化成求方程根的个数问题。本题考查基本不等式的应用,解答本题的关键把条件的左边通分利用基本不等式证明.【解析】选C.由函数f（x）=xcosx²=0在区间[0,4]上的解有，共6个零点。2.（2012·湖北高考文科·Ｔ3）函数f(x)=xcos2x在区间[0,2π]上的零点个数为（）A.2B.3C.4D.5【解题指南】解答本题可先求导数，转化成求方

2、程根的个数问题，最后再利用方程与函数的思想求解.【解析】选D.f(x)=xcos2x是由y＇=x与y″=cos2x,相乘构成的函数,当x=0时,y＇=0,此时f(x)=0,y″=1当0

3、点个数，是方程的解的个数，是方程的解的个数，也就是函数与的交点个数。在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1个。54.（2012·天津高考理科·Ｔ4）函数在区间（0,1）内的零点个数是（）(A)0(B)1(C)2(D)3【解题指南】先判断函数的单调性，再确定零点。【解析】选B。因为＞0，所以函数在（0,1）上递增，且所以有1个零点。二、填空题5.（2012·福建高考理科·Ｔ15）对于实数和，定义运算“﹡”：，设，且关于的方程为，恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是_______．【解题指南】根据新定义，得到一个分段的二次函数式

4、，通过图角找出三个实根的具体位置，同时结合运用根与二次方程系数的关系进行求解【解析】当x≤0时,(2x-1)≤x-1,则f(x)=(2x-1)*(x-1)=(2x-1)2-(2x-1)(x-1)=2x2-x,当x>0时,2x-1>x-1,则f(x)=(2x-1)*(x-1)=(x-1)2-(2x-1)(x-1)=-x2+x.画图,5可知当m∈时,f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3(x1

5、而减小，因此，当m=0时，；当时，．【答案】.三、解答题6.（2012·上海高考理科·T21）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为．（1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【解题指南】本题考察圆锥曲

6、线中的抛物线知识，以及不等式中的均值不等式知识，更考察考生的识图能力。【解析】（1）时，P的横坐标xP=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标yP=3.由

7、AP

8、=，得救援船速度的大小为海里/时.由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度.（2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为.由5，整理得.因为，当且仅当=1时等号成立，所以，即.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.7.（2012·湖南高考理科·Ｔ20）某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品

9、需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）。已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件。该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为Ｋ（Ｋ为正整数）。（Ⅰ）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数Ｋ的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案。【解题指南】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力

10、.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.【解析】（Ⅰ）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为由题设有其中均为1到200之间的