高考球例题复习精讲.doc

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1、典型例题4——球与几何体的切、接问题例7　一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？分析：先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解．解：如图作轴截面，设球未取出时水面高，球取出后，水面高∵，，则以为底面直径的圆锥容积为，球取出后水面下降到，水体积为．又，则，解得．例8．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系

2、，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．解：如图，正四面体的中心为，的中心为，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．设，正四面体的一个面的面积为．依题意得，又即．所以．．说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径(为正四面体的高)，且外接球的半径．例9．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球

3、半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．解：四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为．例10．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图2的截面图，在图2中，观察与和棱长间的关系即可．解：如图2，球心

4、和在上，过，分别作的垂线交于．图2则由得．，．（1）设两球体积之和为，则==当时，有最小值．当时，体积之和有最小值．作业1.　正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．解：如图，球是正三棱锥的内切球，到正三棱锥四个面的距离都是球的半径．是正三棱锥的高，即．是边中点，在上，的边长为，∴．∴可以得到．由等体积法，∴得：，∴．∴．说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径来求出，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．2.　求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．分析：首先画出球及它的外切圆柱、

5、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．解：如图，等边为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形，截球面得球的大圆圆．设球的半径，则它的外切圆柱的高为，底面半径为；，，∴，，，∴．3在球心同侧有相距的两个平行截面，它们的面积分别为和．求球的表面积．分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径．解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，，且若、分别为两截面圆的圆心，则，．设球的半径为．∵，∴同理，∴设，则．在中，；在中，，∴，解得，∴，∴∴．∴球的表面积为．