求解非线性方程的迭代算法研究.doc

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1、.专业整理.求解非线性方程的迭代算法研究XX（XX学院XX专业XX班,陕西XX72X000）指导教师:XX[摘要]在利用数学工具研究社会现象和自然现象，或解决工程技术等问题时，很多问题都可以归结为非线性方程的求解问题，无论在理论研究方面还是在实际应用中，求解非线性方程都占了非常重要的地位.迭代法是求解非线性方程根的一种最重要的方法，而迭代法的优劣对于非线性问题求解速度的快慢和结果的好坏都有很大的影响，所以从实际出发，进行高计算效能迭代算法的研究具有重要的科学价值和实际意义.[关键词]牛顿法;迭代法;非线性方程;收敛的

2、阶;.学习帮手..专业整理.目录1引言32基础知识43NEWTON迭代法53.1Newton迭代法的推导53.2Newton迭代法的收敛74其它迭代格式和变形的牛顿法104.1其它的迭代的格式104.2变形的牛顿法11结束语错误！未定义书签。参考文献13ZUODIAN14Tutor:QuanShuangYan14.学习帮手..专业整理.1引言近几十年来，数值工作者们不断在原有的迭代法基础上的提出一些新的迭代格式，事实上这些新方法大多是根据实际情况的需要对经典的迭代格式进行修正和变形，因此Newton法等一系列经典的迭

3、代法就成为我们讨论新的迭代方法的起点.数学家们对这些方法都做了很深入的研究，关于这方面的文章著作也是数不胜数，其中有非常丰富的理论结果和证明技巧是可以借鉴的.最基本的迭代法，自然对我们的讨论也是最核心的，所以在就来重点讨论Newton迭代法..学习帮手..专业整理.2基础知识非线性方程，就是因变量与自变量之间的关系不是线性的关系，这类方程很多，例如平方关系、对数关系、指数关系、三角函数关系等等.求解此类方程往往很难得到精确解，经常需要求近似解问题.在利用数学工具研究社会现象和自然现象，解决物理、化学、生物、工程技术，

4、甚至社会经济等实际问题时，往往都可以归结为求解某个非线性方程(1．1)的根的问题.就方程(1．1)的形式而言，可能是次多项式：也可能是由多种函数组成的非线性方程.譬如：在人口增长模型中假设某一地区人口的数量随时间连续增长，即，其中N(t)表示该地区在t时刻的人口总数，为人口增长率常数.该微分方程的解为，其中N0为该地区的初始人口总数.但上述模型没有考虑到外部移民的迁入的情况，若允许移民以某常速率u进入该地区，则微分方程是’其解为：．现假设某地区有100万人口，第一年内有43．5万移民迁入，第一年末总计人口156．4万

5、.根据上述数据可以推算出该地区的增长率常数满足方程：、上面这个微分方程的解析解比较容易求出，所以求解这类问题就可转化为求解非线性方程的问题.谈到解非线性方程，就不得不提迭代法，它是最有效最便利的求解方法.迭代法就是从预知的解的初始近似值(简称初值)开始，采用某种迭代格式构造一近似值序列逐步逼近于所求方程的真解.对方程(1．1)求近似根，先将其改写成等价的方程：(1．2).学习帮手..专业整理.所谓等价就是：如果是方程(1．1)的根，那么；反之如果满足方程(1．2)，那么.最简单的等价变换是令，当然还可以根据的特点来变

6、换.称为迭代函数，为函数的一个不动点，求的零点就等价于求的不动点.选择一个初始近似值，将它代入(1.2)式右端，即可求得．可以如此反复迭代计算(1．3)如果得到的序列有极限则迭代方程(1．3)收敛，我们称(1．3)为不动点迭代法.不动点迭代法是最简单的迭代法，它是一种逐次逼近的方法.其基本思想是将隐式方程(1．2)归结为一组显示的计算公式(1．3)，就是说迭代过程实质上是一个逐步显示化的过程.但是迭代序列能否作为方程的根的好的近似，或者能否收敛于，以及能否快速的收敛到呢?这些都是我们后面所要探讨的问题.对于一种解法，

7、为了考察它的有效性，一般都要讨论它的收敛性和收敛速度，即考虑在什么样的条件下构造的序列是收敛的，以及序列中的近似值是按什么样的误差下降速度来逼近真解的.迭代过程的收敛条件，一般与方程的性态(函数在解附近的性质，零点的分布状态等)以及初值的近似度有关，而某些方法仅与初值的近似度有关，故有时也称收敛条件为收敛范围.迭代过程的收敛速度，是指在接近收敛过程中近似值误差的下降速度.一般来说，它主要由方法所决定，方程的性态也会有一些影响.如果由一种迭代解法构造出来的近似值序列与解的误差为或者，当充分接近于解时有关系式当r>1时，

8、称该迭代法具有阶的收敛速度.通常具有阶收敛速度的算法，当接近收敛时其近似值的误差将按幂次为r的速度下降.因此越大，误差就下降的越多，收敛速度就越高；越小，误差就下降的越少，收敛速度就越低..学习帮手..专业整理.3Newton迭代法3.1Newton迭代法的推导对于求解非线性方程(2．1)的零点问题，有很多种迭代方法,其中最为著名的就是Newt