高等量子力学 位置表象和动量表象.ppt

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1、解：①将n换成（n－1），就有重复这种递推过程（n－1）次，即得②设则①为②的特例。由①的结果，若令则特别地，§7位置表象和动量表象本节主要内容：§7-1本正值谱和本征矢量§7-2位置表象和动量表象§7-3位置表象的函数形式§7-5函数空间的性质*§7-1本正值谱和本征矢量（7.1）（7.2）我们的任务是：求出本征值x和p分别可以取哪些值，以及相应的本征矢量之间的关系。讨论的根据是我们的原理1、原理2和原理3，其中唯一的定量关系是原理3中的对易关系：（7.3）（7.5）即（7.6）（7.7）（7.8）由上式的左矢形式（7.9）对于动量P也可以作

2、类似的讨论。引入算符（7.10）（7.11）§7-2位置表象和动量表象（7.12）（7.13）因而可以建立位置表象（x表象）和动量表象（p表象）。我们首先讨论位置表象。而比较，得这是算符X的本征矢量，即位置表象的基矢的正交归一化关系。（7.14）（7.15）（7.16）（7.17）（7.18）（7.19）即（7.20）算符A在位置表象中的矩阵元为（7.21）（7.22）写成连续矩阵形式即为（7.23）其次看位置算符X在自己表象中的矩阵形式：（7.24）(7.25)(7.26)动量算符P在位置表象中是一个连续矩阵，有(7.27)(7.28)(7.

3、29)§7-3位置表象的函数形式（7.35）仍从矩阵形式出发，有于是（7.36）式在函数形式中可以写成为（7.36）（7.37）（7.38）对易关系仍为（7.40）（7.39）（7.41）（7.42）量子力学的位置表象的函数形式，就是初等量子力学一开始所用的表示形式。我们在讨论位置表象的函数形式的过程中，建立了一个函数空间。这是一个实变量的复函数的空间，这个空间同抽象的希尔伯特空间一一对应，每一个函数就是函数空间中的一个矢量，与希尔伯特空间（单一空间）中一个矢量相对应，相对应的两个矢量都可以描写同一个物理状态。两个空间中各有相对应的算符，它们可

4、以描写相应的物理量。量子力学的各种关系，可以在某一空间中讨论，也可以等价地在另一空间中讨论。与它们想对应的算符，则写成相应的大写字母，如三个位置算符X，Y，Z是互相对易的，它们各自有一组本征矢量：（7.43）（7.44）（7.45）（7.46）（7.47）即是位置表象中的态函数。若以z轴为极轴取极坐标，则（7.48）（7.49）（7.50）（7.51）（7.52）即（7.53）（7.54）(7.57)（7.58）分解开来，得即（7.59）（7.60）（7.61）类似地，有（7.62）（7.44）(7.63)（7.64）§7-5函数空间的性质函数

5、空间是为建立位置表象的函数形式而引入的，但是，我们发现在函数空间中的态矢量和算符，与抽象的希尔伯特空间中态矢量和算符存在一一对应的关系。态矢量：算符：本征值方程：展开式：