高三数学大一轮复习 函数与方程学案 理 新人教A版 .doc

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1、学案11 函数与方程导学目标:1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似值.自主梳理1.函数零点的定义(1)对于函数y=f(x)(x∈D),把使________成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与____有交点⇔函数y=f(x)有________.2.函数零点的判定如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有____________,那么函数y=f(x)在区间________内有零

2、点,即存在c∈(a,b),使得________,这个____也就是f(x)=0的根.我们不妨把这一结论称为零点存在性定理.3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点________,________________无交点零点个数________________________4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步,确定区间[a,b],验证________________,给定精确度ε;第二步,求区间(a,b)的中点c;第三步,计算______:①若________,则c就是函数

3、的零点;②若________,则令b=c[此时零点x0∈(a,c)];③若________,则令a=c[此时零点x0∈(c,b)];第四步,判断是否达到精确度ε:即若

4、a-b

5、<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复第二、三、四步.自我检测1.(2010·福建)f(x)=的零点个数为(  )A.0B.1C.2D.32.若函数y=f(x)在R上递增,则函数y=f(x)的零点(  )A.至少有一个B.至多有一个C.有且只有一个D.可能有无数个3.如图所示的函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是(  )A.①②B.①③C.①④D.③④4.设f(x)=3x+3x

6、-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根所在的区间是(  )A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定5.(2011·福州模拟)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是(  )A.f(x)=4x-1B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=ex-1D.f(x)=ln(x-0.5)探究点一 函数零点的判断例1 判断函数y=lnx+2x-6的零点个数.变式迁移1 (2011·烟台模拟)若定义在R上的偶函数

7、f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3

8、x

9、的零点个数是(  )A.多于4个B.4个C.3个D.2个探究点二 用二分法求方程的近似解例2 求方程2x3+3x-3=0的一个近似解(精确度0.1).变式迁移2 (2011·淮北模拟)用二分法研究函数f(x)=x3+ln的零点时,第一次经计算f(0)<0,>0,可得其中一个零点x0∈________,第二次应计算________.以上横线上应填的内容为(  )A. B.(0,1) fC. D. 探究点三 利用函数的零点确定参数例3 已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x

10、-3-a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围.变式迁移3 若函数f(x)=4x+a·2x+a+1在(-∞,+∞)上存在零点,求实数a的取值范围.1.全面认识深刻理解函数零点:(1)从“数”的角度看:即是使f(x)=0的实数x;(2)从“形”的角度看:即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标;(3)若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相切,则零点x0通常称为不变号零点;(4)若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相交,则零点x0通常称为变号零点.2.求函数y=f(x)的零点的方法:(1)(代数法)求方程f(x)=0的实数根(常用公式法、因式分解法、直

11、接求解法等);(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点;(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值,二分法的条件f(a)·f(b)<0表明:用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.3.有关函数零点的重要结论:(1)若连续不间断的函数f(x)是定义域上的单调函数,则f(x)至多有一个零点;(2)连续不间断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号;(3)连续不间断的函数图象通过零点时,函数值符号可能不变.(满分:75分)一

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