高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦学案 新人教B版必修.doc

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1、3.1.2　两角和与差的正弦[学习目标]　1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的性质．[知识链接]1．cos(α＋β)与cosα＋cosβ相等吗？答　一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时候．例如，当α＝60°，β＝－60°时，cos(60°－60°)＝cos60°＋cos(－60°)．2．你能结合三角函数诱导公式，由公式Cα＋β或Cα－β推导

2、出公式Sα－β吗？答　sin(α－β)＝cos＝cos＝coscosβ－sinsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ.[预习导引]1．两角和与差的余弦公式Cα－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.Cα＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.2．两角和与差的正弦公式Sα＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.Sα－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.3．辅助角公式使asinx＋bc

3、osx＝sin(x＋φ)＝cos(x－θ)成立时，cosφ＝，sinφ＝，sinθ＝，cosθ＝，其中φ、θ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定.要点一　利用和(差)角公式化简例1　化简下列各式：(1)sin＋2sin－cos；(2)－2cos(α＋β)．解　(1)原式＝sinxcos＋cosxsin＋2sinxcos－2cosxsin－coscosx－sinsinx＝sinx＋cosx＋sinx－cosx＋cosx－sinx＝sinx＋cosx＝0.(2)原式＝＝＝＝.规律方法　化简三角

4、函数式的标准和要求：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少．(3)使三角函数式的次数尽可能低．(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式．跟踪演练1　化简：(tan10°－).解　原式＝(tan10°－tan60°)＝＝·＝·＝－＝－2.要点二　利用和(差)角公式求值例2　若sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)的值．解　∵0<α<<β<，∴<＋α<π，－<－β<0.又∵sin＝，cos＝，∴cos＝－，sin＝－，∴cos(α＋β)＝sin＝sin

5、＝sincos－cossin＝×－×＝－.规律方法　在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．跟踪演练2　已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos2α与cos2β的值．解　∵<β<α<，∴0<α－β<，π<α＋β<.∴sin(α－β)＝＝＝，cos(α＋β

6、)＝－＝－＝－.∴cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝－×－×＝－，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－×＋×＝－.要点三　公式的变形应用例3　已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求的值．解　∵sin(α＋β)＝，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝.①∵sin(α－β)＝，∴sinαcosβ－cosαsinβ＝.②由①，②解得sin

7、αcosβ＝，cosαsinβ＝，∴＝＝＝5.规律方法　本题考查了公式的变形应用．先结合所求结论特点，对已知进行变形，整体求值．而本题中化切为弦的求法更是巧妙，体会其中的解题思路．跟踪演练3　已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α、β∈.求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．解　(1)因为α、β∈，所以α－β∈，又sin(α－β)＝>0，所以0<α－β<.所以sinα＝＝，cos(α－β)＝＝.cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β

8、)＝×－×＝.(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝，又因为β∈，所以β＝.例4　化简下列各式：(1)3sinx＋3cosx；(2)sin＋cos.解　(1)3sinx＋3cosx＝6＝6＝6sin.(2)sin＋cos＝＝＝sin＝－sin.规律方法　辅助角公式asinx＋bcosx＝·sin(x＋φ)可以把含sinx、cosx的一次式化为Asin(ωx＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a，b)决定，大