灵活运用“数形结合思想”解数学题.doc

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1、.灵活运用“数形结合思想”解数学题王小杰摘要:"数形结合"思想方法是研究数学问题的重要方法，本文对中学数学中的函数问题、三角问题、方程问题、复数问题、解析几何问题、数列问题、不等式问题，谈谈如何运用"数形结合"的思想解题。关键词：数形结合、图形、函数、三角、方程、复数、解析几何、数列、不等式数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。数学思想、数学方法是密不可分，对于数学方法来说，思想是其相应的方法的精神实质和理论基础，方法则是实施有关思想的技

2、术手段。中学数学中出现的数学观点和各种数学方法，都体现着一定的数学思想。在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想；数形结合的思想，变换与转化的思想，整体思想，函数与方程的思想，抽样统计思想，极限思想等等。..中学数学教学中处处渗透着基本数学思想。如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的

3、教学课程。其中“数形结合”是很重要的一种思想方法.华罗庚教授说“数”缺少“形”时,少直观;“形”缺少“数”时,难入微.可见“数形结合”在数学中的地位.那么什么是数形结合呢？本文对数形结合思想在数学中的应用谈谈一些自己的看法。数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合。可使复杂的问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合有两种基本形式，一是“形”的问题转化为用数量关系去解决，运用代数、三角知识进行讨论，它往往把技巧性极强的推理论证转化可具体操作的代数运算，很好在起化

4、难为易的作用。在解析几何中就常常利用数量关系去解决图形问题。二是“数”的问题转化为形状的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受的优点。数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域和最值问题中，在求..复数和三角函数问题中都有体现，运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，这在选择、填空题解答中更显优越。一、运用数形结合思想解决函数问题『例1』：求函数y=

5、x+3

6、－

7、x+1

8、的值域。分析：就自变量x的围讨论去掉绝对值，将函数表示为分段函数

9、，画出分段函数的图象，由图象即可得y的围函数的图象如图，由图象即可得y∈［－2，2］。『例2』：已知函数,若0

10、一点P(X,0)A′(0,-1)使得取最小值Ａ关于Ｘ轴的对称点为Ａ′（０，－１）ｍｉｎ＝＝..『例4』：设函数f(x)=x2－2

11、x

12、－1(－3≤x≤3).指出函数f(x)的单调区间并说明在各个区间上f(x)是增函数还是减函数。解：当x≥0时，f(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2当x＜0时，f(x)=x2+2x－1=(x+1)2－2即根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如图函数f(x)单调区间为［－3，－1），［－1，0），［0，1），［1，3］。由图形可看出函数在区间［－3，－1），［0，1）上为减函数，在区间［

13、－1，0），［1，3］上为增函数。二、运用数形结合思想解决三角问题『例1』：已知那么下列命题正确的是（）..yx0CDABA、若、是第一象限角，则B、若、是第二象限角，则C、若、是第三象限角，则D、若、是第四象限角，则分析考察选项A，作单位圆，如图，OA、OB分别为角、的终边，∵OC为的余弦线，OD为的余弦线，则有知A错，依次判断知选D。『例2』：求函数值域解析：联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,将原函数视为定点(2,3)到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题,作

14、出图形观察易得：最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而得解：P(2,3)BAOxy答案：..『0xy1例3』：解不等式分析:从不等式的两边表达式我们可以看成两个函数.在上作出它们的图像,得到四个不同的交点,横坐标分别为:,而当在区间时,的图像都在的图像上方．所以可得到原不等式的解集为：．『例4』：