船舶板壳力学 3薄板弯曲课件.ppt

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1、§3薄板弯曲3.1概述xyzt/2bo平板：两个平行面和垂直于这两个平面的柱面围成的物体。板面侧面中面薄板与厚板的区别：通常情况下，板的厚度t与板面的最小尺寸b的比值满足如下条件，称为薄板，否则称为厚板。本章只讨论由于横向载荷所引起的应力、应变和位移。当薄板受有一个一般载荷时，总可以分解为两个分量：横向载荷：垂直于中面。可认为它沿薄板厚度均匀分布，按平面应力问题进行计算。使薄板弯曲。纵向载荷：作用于中面之内。纵向载荷横向载荷弹性曲面：薄板弯曲时，中面所弯成的曲面。挠度：中面内各点的横向位移。薄板小挠度弯曲问题，通常采用如下假设：（1）

2、板厚不变假设在垂直于中面的任一条法线上，各点都具有相同的挠度。垂直于中面方向的正应变很小，可以忽略不计。即，由几何方程得，从而有：3.2基本假设放弃物理方程：容许：在变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，并垂直于弯曲后的中面。即（2）中面法线保持不变假设放弃物理方程：容许：原因：两个剪应力是维持平衡所必需的，不能不计。薄板小挠度弯曲问题物理方程薄板平面应力问题物理方程（3）板面为中性层假设由几何方程得即：薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移（4）亦即认为应力对变形的影响很小，可以略去不计。（1）几何方程3.3基本方程由可知：或：对

3、z进行积分，并利用，得按位移求解薄板弯曲问题。取薄板挠度为基本未知量，把所有其它物理量都用来表示。于是应变分量用表示为:小变形下，由于挠度是微小的，弹性曲面在坐标方向的曲率可近似地用挠度表示为:（2）物理方程不计所引起的应变，物理方程为：把应力分量用应变分量表示，得：上式说明，主要的应力分量沿板的厚度线性分布。将应力分量用挠度表示，得：（3）弹性曲面微分方程在不计体力的情况下，由平衡方程的前二式得：将应力分量用挠度表示的物理方程代入上式，并化简得：由于挠度不随z变化，且薄板在上下面的边界条件为：将上列二式对z进行积分，得：再由平衡微分

4、方程第三式，得：将用挠度表达式代入，并化简得：（1）由于挠度不随z变化，且薄板有边界条件:将（1）式对z积分，得:设在薄板顶面上每单位面积作用的载荷q(包括横向面力和横向体力），板上面的边界条件为:将的表达式代入该边界条件，得薄板挠曲微分方程:其中称为薄板的弯曲刚度。薄板挠曲微分方程也称为薄板的弹性曲面微分方程，它是薄板弯曲问题的基本微分方程。在薄板横截面上取一微分六面体，其三边的长度分别为。在垂直于x轴的横截面上，作用着正应力和剪应力。由于和在板厚上的总和为零，只能分别合成为弯矩和扭矩；而只能合成横向剪力。3.4横截面上的内力圣维南

5、原理，应力边界条件不满足，内力边界条件满足。显然，在垂直于x轴的横截面上，每单位宽度之值如下：同理将上节给出的应力分量与挠度之间关系代入，并积分得：上式称为薄板弯曲问题中内力与变形之间的弹性方程。利用应力分量与挠度之间的关系、薄板挠曲微分方程以及内力与形变之间的弹性方程，消去，可以给出各应力分量与弯矩、扭矩、剪力、载荷之间的关系。沿着薄板的厚度，应力分量的最大值发生在板面。和的最大值发生在中面。最大值发生在载荷作用面。在计算薄板的内力时，主要是计算弯矩和扭矩。数值较大，是主要应力。及数值较小，是次要的应力。挤压应力在数值上最小，是更次

6、要的应力。以图示矩形板为例：（1）固定边假定OA边是固支边界，则边界处的挠度和曲面的法向斜率等于零。即：3.5薄板的边界条件（2）简支边假设OC边是简支边界，则边界处的挠度和弯矩等于零。即：由于且在OC上即则简支边OC边界条件可写成：（3）自由边板边CB为自由边界，则沿该边的弯矩、扭矩和横向剪应力都为零，即：扭矩变换为等效的剪力首先，设定具有待定系数的薄板挠度的表达式；最后，由挠度与应力分量的关系，求得应力分量。例1试求边界固定的椭圆形薄板在承受均布载荷q后的最大挠度和最大弯矩。解：在图示坐标下，椭圆薄板的边界方程为:3.6薄板弯曲的

7、直角坐标求解用位移法求解薄板弯曲问题，通常采用半逆解法。其次，利用薄板曲面微分方程和边界条件，确定待定常数；其中C为常数。设挠度的表达式为:设n为薄板边界外法线，则在薄板的边界上应有:注意到显然所设挠度的表达式满足固定边界条件。将挠度的表达式代入弹性曲面微分方程从而最大挠度为:最大弯矩为（设a>b):内力例2试求图示四边简支，承受均布载荷的矩形薄板之最大挠度。解：取图示坐标系设则在x=0及x=a边界上，边界条件自然满足。将的表达式代入弹性曲面微分方程将展为傅立叶级数其中m为偶数m为奇数则取微分方程的特解为：得并注意到挠度是y的偶函数，

8、则非齐次线性常微分方程的一般解为:利用边界条件(已用对称性）处，得挠度的表达式：若a=b，则可见，在级数中仅取两项，就可以达到较高的精度。第六节圆形薄板的轴对称弯曲求解圆板弯曲问题时，采用极坐标较方便。如果圆形薄板所受的