行列式的应用.pdf

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1、前言1前言行列式是研究高等代数的一个重要工具。行列式的理论应用，是研究现代科学技术的重要方法，在众多的科学技术领域中应用都十分广泛。文献[1]、[]2对行列式的应用进行了部分介绍，文献[3]对行列式在几何上的应用又进行了较详细的讨论。本文将继续具体讨论其在初等数学中的应用。2一类常见行列式在初等数学中的应用2.1在因式分解中的应用将多项式f()x表示成两个多项式f(x)与f(x)之差，再将f()x视为两个因12i式之积即f()x=f()x−f(x)=g(x)g(x)−g(x)g(x)121234于是有g(x)g(x)13f()x=g()()xgx−g()()xgx=1

2、234()()gxgx42再利用文献[4]中行列式的性质，可对某些多项式进行因式分解。432例1：分解f(x)=x+3x−7x−27x−1822解：f()x=x(x+3x−7)−9(3x+2)22rx3x+2r2−r1x3x+2=⎯⎯→⎯2229x+3x−79−xx−922x3x+2=()x−9−112=()x−3()x+3(x+3x+2)=()x−3()x+3(x+1)(x+2)又由于行列式x−10"000x−1"00nn−1""""""=ax+ax+"+ax+a01n−1n000"x−1aaa"aax+ann−1n−2201故可以把一个n次多项式写成一个n阶行列式

3、，然后再利用文献[4]中行列第1页（共15页）行列式在初等数学中的一些应用式的性质计算该行列式，使之成一些因式乘积。432例2：分解f(x)=5x+24x−15x−118x+24x−1000x−10解：f()x=00x−124−118−155x+24x−1000x−10=00x−1224−1185x+24x−150x−10x5x−10=0x−1=0x−12224−1185x+24x−152425x+24x−15x5x−15(5x−1)x5x−15=0x5x−1=()5x−10x122425x+24x−15242x+5xx+3=()5x−18()x+3(x+4)=()5

4、x−1()x−2(x+3)(x+4)2.2在解分式方程中的应用f()xg()x11将分式方程=去分母，即f()xg()x22f()()xgx=g(x)f(x)(f(x),g(x)≠0)121222移项得f()()xgx−g()xf(x)=0(f(x),g(x)≠0)121222于是有f(x)f(x)12原分式方程=f()()xgx−g()()xfx=1212()()gxgx12再利用文献[4]中的行列式的性质，可对某些分式方程进行解答。222x+3x+4x+2x+4例3：解方程=22−2x+3x−4−x+2x−4第2页（共15页）一类常见行式在初等数学的应用解：原方程

5、可化为22222x+3x+4x+2x+4r+r2x+3x+4x+2x+4⎯⎯→2⎯122−2x+3x−4−x+2x−46x4x222x+3x+4x+2x+4=2x322x+xx+4=2x112=2x(x+x−x−4)2=2x(x−4)=0解得x=,0±222将其代入−2x+3x−4与−x+2x−4中可得均不为0则原方程的解为x=,0±22.3在分母有理化中的应用111P设=，则=。其中()3332f()3cQfca+ac+ac0121aaaaa120123P=caaQ=caaa0120132ccaacaaa20120332将Q的第2、3列分别乘以c和c后都加到第1列上

6、并提公因式易得332(a+ac+ac)P=Q012332显然Q不再含有c和c。1例4：将分母有理化333+22+41213333333解：P=232=9+44+22−34−4−62=4−42+5342×13第3页（共15页）行列式在初等数学中的一些应用321Q=2×132=27+16+4−12−12−12=112×22×133314−42+5所以=33113+22+43一类特殊行列式在初等数学中的应用文[]5研究了形如aa"a111121n−1aa"a1()21222n−1Dn="""""aa"a1n1n2nn−1的一类阶实方阵行列式的几何意义，并在结论部分包含了如下

7、一个结论：n⎧⇔一维数轴上两点重合(n=2)⎪()⎪⇔平面上三点共线n=3D()n=0⎨（1）⎪⇔三维空间中四点共面()n=4⎪⇔A的a,a,",a线性相关⎩12n−1()1式实质蕴涵了D()n在证明相关几何问题，向量线性相关等问题的应用价值，下面举例给出其在初等数学方面的相关应用。3.1在平面上三点共线问题中的应用aa11112[]5定理1D()3=aa1，其几何意义是二维平面上以2122aa13132A()a,a(i=3,2,1)三点为顶点的三角形面积的2倍，亦即等于以矢量AA,AAii1i21213为邻边的平行四边形的面积。根据D()3的几何意