高等数学――8.1多元函数的基本概念课件.ppt

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1、§8．1多元函数的基本概念一、区域二．多元函数概念三．多元函数的极限四．多元函数的连续性邻域、内点、开集、边界点、边界连通性、区域、闭区域n维空间、点的坐标、两点间的距离二元函数的定义、值域、二元函数的图形二元函数连续性定义、函数的间断点多元连续函数的性质、多元初等函数一、区域设P0(x0，y0)是xOy平面上的一个点，d是某一正数．与点P0(x0，y0)距离小于d的点P(x，y)的全体，称为点P0(x0，y0)的邻域，记为U(P0，d)或U(P0)，即邻域:U(P0，d){P

2、

3、PP0

4、

5、面上的一个点．如果存在点P的某一邻域U(P)，使U(P)E，则称P为E的内点，内点：E如果点集E的点都是内点，则称E为开集．开集：P边界点、边界：如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称P点为E的边点．开集：E{(x，y)

6、1

7、P2E1和E2都是区域．D=E1E2是不区域．E3E3是闭区域．有界点集和无界点集：对于点集E如果存在正数K，使一切点PE与某一定点A间的距离

8、AP

9、不超过K，即

10、AP

11、K对一切PE与成立，则称E为有界点集，否则称为无界点集．例如E={(x，y)

12、1≤x2y2≤4}是有界的，{(x，y)

13、x2y21}是无界的．E数xi称为点(x1，x2，···，xn)的第i个坐标．n维空间：设n为取定的一个自然数，则称有序n元数组(x1，x2，···，xn)的全体为n维空间，记为Rn．n维空间中点：每个有序n元数组(x1，x2，···，xn)称为n维空间中的一个

14、点．点的坐标：n维空间中两点P(x1，x2，···，xn)及Q(y1，y2，···，yn)间的距离规定为两点间的距离：二．多元函数概念设D是平面上的一个点集．如果对于每个点P(x，y)D，变量z按照一定法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x，y的二元函数(或点P的函数)，记为z=f(x，y)(或z=f(P))二元函数的定义：其中D称为定义域，x，y称为自变量，z称为因变量．例函数z=ln(x+y)的定义域为{(x，y)

15、x+y>0}(无界开区域)；Oxyx+y=0二．多元函数概念设D是平面上的一个点集．如果对于每个点P(x，y)D，变量z按照一定法则总有

16、确定的值和它对应，则称z是变量x，y的二元函数(或点P的函数)，记为z=f(x，y)(或z=f(P))二元函数的定义：其中D称为定义域，x，y称为自变量，z称为因变量．例函数z=ln(x+y)的定义域为{(x，y)

17、x+y>0}(无界开区域)；函数zarcsin(x2y2)的定义域为{(x，y)

18、x2y21}(有界闭区域)．Oxyx2y2=1值域：{z

19、z=f(x，y)，(x，y)D}二元函数的图形：点集{(x，y，z)

20、z=f(x，y)，(x，y)D}称为二元函数zf(x，y)的图形．二元函数的图形是一张曲面．例z=ax+by+c是一张平面，

21、xyzOx0y0M0由方程x2y2z2a2确定的函数z=f(x，y)有两个：由方程x2y2z2a2确定的函数z=f(x，y)是中心在原点，半径为a的球面．它的定义域为D={(x，y)

22、x2y2a2}．Oxy三．多元函数的极限二重极限的定义：设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点．如果对于任意给定的正数e总存在正数d，使得对于适合不等式的一切点P(x，y)D，都有

23、f(x，y)A

24、

25、PP

26、0

27、．xyzOx0y0M0P0APPPPx2y2，则当时，总有必须注意：(1)二重极限存在，是指P以任何方式趋于P0时，函数都无限接近于A(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在．例当点P(x，y)沿x轴、y轴趋于点(0，0)时函数的极限为零，当点P(x，y)沿直线y=kx趋于点(0，0)时xyzOP0解四．多元函数的连续性则称函数f(x，y)在点P0(x0，y0)连续．二元函数连续性定义：设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)D．如果函数f(x，y)在区域(开区域或闭区域)D内连续：是指

28、函数f(x，y)在D内每一点连续．此时