控制系统数学模型课件.ppt

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1、第2章控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型控制系统的复域数学模型控制系统的结构图与信号流图引言定义：控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。用途：1）分析实际系统2）预测物理量3）设计控制系统数学模型的特点1)相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统2)简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理3)动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析4)静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数建模方法分析法*实验法解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结

2、合起来建立数学模型更为有效。表达形式时域：微分方程、差分方程、状态方程复域：传递函数、动态结构图频域：频率特性线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换2-1控制系统的时域数学模型2.1.1线性元件微分方程的建立目的：通过该方程确定被控量与给定量及扰动量之间的函数关系。方法与步骤:（1）根据实际情况，确定系统的输入、输出变量。（2）从输入端开始，按信号传递遵循的有关规节列出元件微分方程。（3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程。（4）整理，输入量项=输出量项。例1:图示RLC无源网络，列出以为输入量，以为输出量的网络微分方程。解：消去中间变量得：例2：图示弹簧-质量-

3、阻尼器机械位移系统。试列写质量m在外力F(t)作用下位移x(t)的运动方程。解：输入F(t)，输出x(t)理论依据:牛顿第二定律,物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积.mF1(弹簧的拉力)F(t)外力F2阻尼器的阻力式中F1（t）是阻尼器的阻尼力F2（t）是弹簧反力mF1(弹簧的拉力)F(t)外力F2阻尼器的阻力比较:R-L-C电路运动方程与M-S-D机械系统运动方程相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系。便于用简单系统去研究相似的复杂系统。举例1：速度控制系统的微分方程2.1.2控制系统微分方程的建立控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直

4、流电动机、减速器、测速发电机运放1运放2功放直流电动机减速器（齿轮系）测速发电机得微分方程如下：（其中系数由已知参数构成）112.1.3线性系统的性质：具有可叠加性、均匀性（齐次性）2.1.4线性定常微分方程求解方法直接求解法：通解+特解自由解+强迫解（零输入响应+零状态响应）变换域求解法：Laplace变换方法例1，在上面RLC电路中，若已知L=1H，C=1F，R=1Ω，且电容上初始电压，初始电流i（0）＝0.1A，电源电压，试求电路突然接通电源时，电容电压的变化规律。解：在上第二例中已求得网络微分方程为令，，且分别对各项求拉氏变换并整理后有由于对求拉氏反变换，得如果输入电压是单

5、位脉冲量，则单位脉冲响应为142.1.5非线性微分方程的线性化在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如下图所示。15于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。对弱非线性的线性化如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系函数按泰勒级数展

6、开，由数学关系可知，当很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。可得，简记为y=kx。若非线性函数由两个自变量，如z＝f（x,y），则在平衡点处可展成（忽略高次项）经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示为强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。18求取非线性方程系统的步骤：1、求稳态工作点（平衡点）：（X0，Y0）2、求稳态方程3、对非线性项线性化4、带入到原方程5、减去稳态方程5、运动的模态运动的模态：是由n阶微分方程的特征根所决定的，代表自由运动的振型函数。从数

7、学上讲，即是n阶齐次微分方程的通解所包含的振型函数。（1）如果n阶微分方程的特征根无重根，为，则有运动的模态为：等函数；（2）如果n阶微分方程的特征根中有多重根λ则有运动的模态为：等函数；（3）如果n阶微分方程的特征根中有共轭复根则有运动的模态为：和，或写成和202-2控制系统的复域数学模型一、传递函数的定义与性质线性定常系统在输入、输出初始条件均为零的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数由n阶线性微分方程推出传递函数的方法：在零初始条件下