资源描述：
《点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。22xy定理在双曲线221（a＞0，b＞
2、0）中，若直线l与双曲线相交于M、N两点，点ab2y0bP(x,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN2.0x0a22x1y121,(1)2ba证明：设M、N两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，则有22x2y21.(2)22ab2222x1x2y1y2(1)(2)，得220.aby22y1y2y1b.2x2x1x2x1ay2y1y1y22y0y0又kMN,.x2x1x1x22x0x02y0bkMN2.x0a22yx同理可证，在双曲线221（a＞0，b＞0）中，若直线l与双曲线相交于M、N两点，aby20a点P(x0,y0)是弦MN的中点，弦MN所在的直
3、线l的斜率为kMN，则kMN2.x0b典题妙解2x例1已知双曲线C:y21，过点P(2,1)作直线l交双曲线C于A、B两点.3（1）求弦AB的中点M的轨迹；（2）若P恰为弦AB的中点，求直线l的方程.22解：（1）a1,b3,焦点在y轴上.2yay1y1设点M的坐标为(x,y)，由kAB2得：，xbx2x322整理得：x3y2x3y0.22所求的轨迹方程为x3y2x3y0.（2）P恰为弦AB的中点，2y0a112由kAB得：k,即k.ABxb2AB23302直线l的方程为y1(x2)，即2x3y10.322例2已知双曲线C:2xy2与点P(1,2).（1）斜率为k且过点P的直线l与C有两个
4、公共点，求k的取值范围；（2）是否存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P？（3）试判断以Q(1,1)为中点的弦是否存在.解：（1）直线l的方程为y2k(x1)，即ykx2k.ykx2k,由222222得(k2)x2(k2k)xk4k60.2xy2.直线l与C有两个公共点，2k20,得22224(k2k)4(k2)(k4k6)0.3解之得：k＜且k2.23k的取值范围是(,2)(2,2)(2,).222y22（2）双曲线的标准方程为x1,a1,b2.22yb0设存在过点P的弦AB，使得AB的中点为P，则由kAB得：k22,k1.xa20由（1）可知，k1时，直线l与C有两个公共点，存在这样的
5、弦.这时直线l的方程为yx1.yb20（3）设以Q(1,1)为中点的弦存在，则由kAB2得：k12,k2.ax0由（1）可知，k2时，直线l与C没有两个公共点，设以Q(1,1)为中点的弦不存在.22例3过点M(2,0)作直线l交双曲线C:xy1于A、B两点，已知OPOAOB（O为坐标原点），求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.2222解：在双曲线C:xy1中，ab1，焦点在x轴上.设弦AB的中点为Q.OPOAOB,由平行四边形法则知：OP2OQ，即Q是线段OP的中点.xy设点P的坐标为(x,y)，则点Q的坐标为,.22yy2由kb2yyyAB得：1，22xx4xa2xx2222整理得：
6、xy4x0.22(x2)y配方得：1.4422(x2)y点P的轨迹方程是1，它是中心为(2,0)，对称轴分别为x轴和直线44x20的双曲线.例4.设双曲线C的中心在原点，以抛物线y223x4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l:y2x1与双曲线C交于A,B两点，求AB；（Ⅲ）对于直线l:ykx1，是否存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点A,B关于直'线l:yax4(a为常数)对称，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．22解：（Ⅰ）由y223x4得y23(x)，32321p3，抛物线的顶点是(,0)，准线是x.323232c
7、,3212在双曲线C中，.a,b1.2a13.c2322双曲线C的方程为3xy1.y2x1,2（Ⅱ）由得：x4x20.223xy1.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x24,x1x22.2222
8、AB
9、(1k)[(x1x2)4x1x2](12)[(4)42]210.''（Ⅲ）假设存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点A,B关于直线l对称，则l是线段AB1'1的垂直平分线.因而a，从而l:yx4.设线段AB的
