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1、n次勒让德函数江苏省锡山市高级中学初二（20）班钱一程2014年12月8日星期一摘要：勒让德函数是-x2+1y''-2xy'+mm+1y=0的解。N次勒让德函数是-xn+1y''-2xy'+mm+1y=0的解。本文就n次勒让德函数的解与性质进行了探讨。关键词：n次，勒让德函数1.n次勒让德函数的级数解由于n次勒让德函数是一个非线性微分方程，所以不能直接求解，先用级数求解比较简单。设y=k=0∞akxk则：1-xnk=0∞-1+kkx-2+kak-2xk=0∞kx-1+kak+m1+mk=0∞xkak=0化简公式，得：(1)1-xnk=2∞-1+kkx-2+kak-2xk=1∞kx-1+kak+
2、m1+mk=0∞xkak=0(2)k=0∞ak+2k+2k+1xk-k=n∞ak+2-nk+1-nk+2-nxk-2k=1∞akkxk+mm+1*k=0∞akxk=0(3)k=1∞a[k+2](k+2)(k+1)xk-k=1∞ak+2-nk+1-nk+2-nxk-2k=1∞ak*k*xk+mm+1*k=1∞akxk+k=1n-1ak+2-nk+1-nk+2-nxk+2a2+mm+1a0=0不妨设满足该公式的条件：(4):k=1n-1a[k+2-n](k+1-n)(k+2-n)xk+2*a[2]+m(m+1)a[0]=0(5)：a[k+n](k+n)(k+n-1)-a[k](k-1)k-2a[k
3、-2+n]*(k-2+n)+m(m+1)a[k-2+n]=0(6)2a2+m(m+1)a0=0(由原方程分析得当x=0时，y''+mm+1y=0)满足这两个公式的至少有一个参数的函数a称为n次勒让德函数的基本解。当n>3时，设an=0(n<0)，则(4)变为k=n-2n-1a[k+2-n](k+1-n)(k+2-n)xk+2*a[2]+m(m+1)a[0]=0得2a[2]+m(m+1)a[0]=0(4)(5)(6)化为a[k+n](k+n)(k+n-1)-a[k](k-1)k-2a[k-2+n]*(k-2+n)+m(m+1)a[k-2+n]=02a2+m(m+1)a0=0得如下递推公式：ak+
4、n=1k+nk+n-1{akk-1k+2ak-2+n*k-2+n-mm+1ak-2+n}a2=-m(m+1)a02得解：y=k=0∞akxkn次勒让德函数基础解还有如下性质：1.当m=-1时，x没有平方项2.当m=0时，没有级数解3.当c=0时，y=04.当m=2时，它的解是勒让德函数的解5.n次勒让德函数的基础解不包括它所有的级数解6.n次勒让德函数的级数解不包括它的所有解7.如果y=f[x]是n次勒让德函数的解，则y=f[x-n]也是n次勒让德函数的解8.如果y=f[x]是n次勒让德函数的解，则y=a*f[x-n]也是n次勒让德函数的解2.三次勒让德函数的基本解根据定义，三次勒让德函数是-
5、x3+1y''-2xy'+mm+1y=0的解。根据(4)(5)(6)式，得三次勒让德函数的基本解为(7)6*a[3]+2*a[2]-2*a[1]+(m+2)(m-1)a[0]==0(8)a[k]k(k-1)-a[k-3](k-3)(k-4)-2(k-2)a[k-2]+m(m+1)a[k-2]==0(9)2a[2]+m(m+1)a[0]=0设函数b[a,m,c]是当a[0]=c时的解，根据(8)(9)(10)式，列出三个关于初始条件的方程2a2+mm+1a0=06a3+2b[2]]-2a[1]=06a3-2a1+mm+1a1=0(10)解得a1=-2a0m1+ma2=-ma0+a02a3=-2a
6、0-ma0-m2a03m1+m(11)。所以得b[a,m,c]的递推公式:b0,m,c=c,b1,m,c=-2cm1+m,b2,m,c≔12-mc-m2cbn,m,c=1nn-1bn-3,m,cn-3n-4+2bn-2,m,cn-2-mm+1bn-2,m,c(12)然后得解:y=k=0∞bk,m,cxk(13)通过微分方程数值方法，验证得公式(13)的确是三次勒让德函数的解。3.对b[k,m,c]的推导由公式(13)得前几个b[k,x,y]:b1,x,y=-2yx+x2b2,x,y=-12x(1+x)yb3,x,y=(-2+x+x2)y3x(1+x)b4,x,y=124x(-4-3x+2x2+
7、x3)yb5,x,y=-(3-2x-x2+2x3+x4)y15x(1+x)b6,x,y=-(96-48x-16x2+52x3-3x4-32x5-6x6+4x7+x8)y720x(1+x)b7,x,y=(-60+46x-38x2-151x3-33x4+51x5+17x6)y1260x(1+x)b8,x,y=(-4032+2592x+1200x2-2608x3-888x4+433x5+37x6-86x
