电磁场数值方法电子教案：有限元（FEM）.ppt

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1、有限元（FEM）概述历史1943Courant最早提出思想20世纪50年代用于飞机设计1960Clough在著作中首先提出名称1964—1965年间数学家冯康独立地开创有限元方法并奠定其数学基础1965Winslow首次应用于电气工程问题1969Silvester推广应用于时谐电磁场问题应用范围广泛地被应用于各种结构工程成功地用来解决其他工程领域中的问题热传导、渗流、流体力学、空气动力学、土壤力学、机械零件强度分析、电磁工程问题等等电磁工程应用及发展静态场～时变场，闭域～开域，线性～非线性，散射，波导、腔体、传输线标量

2、有限元发展到矢量有限元高阶矢量有限元单一方法发展到混合方法(快速算法)频域求解发展到时域求解(区域分解技术)商用软件：比如HFSS、ANSYS有限元思想1有限元法是函数逼近理论、偏微分方程、变分与泛函分析的巧妙结合。从数学上分析，有限元法是Rayleigh-Ritz-Galerkin法的推广。传统的有限元以变分原理为基础变分问题就是求泛函极值的问题直接解法－把变分问题化为普通多元函数求极值的问题－Ritz寻找一组在全域上解析、而又要在边界上满足强加边界条件的基函数间接解法－变分原理变分问题与对应的边值问题等价有限元思想

3、2有限元法采取了与变分问题间接解法相反的途径,把所要求的微分方程型数学模型――边值问题，首先转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；然后利用剖分插值，离散化变分问题为普通多元函数的极值问题，即最终归结为一组多元的代数方程组，解之即得待求边值问题的数值解。有限元思想3有限元法的核心在于剖分插值，它是将所研究的连续场分割为有限个单元，用比较简单的插值函数来表示每个单元的解，但是它并不要求每个单元的试探解都满足边界条件，而是在全部单元总体合成后再引入边界条件。这样，就有可能对内部和边界上的单元采用同样的插值函数，使方法构造极

4、大地得到简化。有限元思想4由于变分原理的应用，使第二、三类及不同媒质分界面上的边界条件作为自然边界条件在总体合成时将隐含地得到满足，也就是说，自然边界条件将被包含在泛函达到极值的要求之中，不必单独列出，而唯一考虑的仅是强制边界条件（第一类边界条件）的处理，这就进一步简化了方法的构造。有限元法主要特点1离散化过程保持了明显的物理意义。因为变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理（如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆逊定理等）。因此，基于问题固有的物理特性而予以离散化处理，列出计算公式，当可保证方法的正确性、数

5、值解的存在与稳定性等前提要素。有限元法主要特点2优异的解题能力。与其他数值方法相比较，有限元法在适应场域边界几何形状以及媒质物理性质变异情况的复杂问题求解上，有突出的优点：不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制；不同媒质分界面上的边界条件是自动满足的；不必单独处理第二、三类边界条件；离散点配置比较随意，通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值计算精度。有限元法主要特点3可方便地编写通用计算程序，使之构成模块化的子程序集合。容易并行。从数学理论意义上讲，有限元作为应用数学的一个分支，它使微分方程

6、的解法与理论面目一新，推动了泛函分析与计算方法的发展。&3.1变分原理与尤拉方程在微积分学形成的初期，以数学物理问题为背景，与多元函数的极值问题相对应，就已经在几何、力学上提出了若干求解泛函极值的问题。例如最速降线问题，即在于研究当质点从定点A自由下滑到定点B时，为使滑行时间最短，试求指点应延着怎样形状的光滑轨道下滑。dxdsA(x1,y1)B(x2,y2)xyO沿曲线滑行弧线所需时间为滑行总时间为泛函的极值（max或min）问题就称为变分问题。对一般问题而言，可导出下列对应于一个自变量、单个函数及其导数的已知函数函数

7、族仅有一个能使定积分达到极小值间接解法是将变分问题转化为尤拉方程（微分方程）的定解问题，即边值问题来求解。称之为的变分，它反映了整个函数的变化量相应于变分的泛函增量为任意给定的微量实参数满足齐次边界条件的可微函数极值∴简写为只差一个数值因子极值函数解必须满足的必要条件等同于泛函的极值问题的尤拉方程简单函数简单泛函自变量的微分－表示自变量值的微小变化函数变分－表示函数形式的微小变化，其中是正的任意给定的常数，为可取函数引起的函数值变化可利用Taylor级数展开函数增量的线性部分函数的一阶微分简称微分函数的n阶微分表示为引

8、起的泛函值的变化可展开为定义：泛函的一阶变分简称变分，是泛函增量的线性主部同样有二阶直到n阶变分简单函数简单泛函自变量在上变化时，函数有极大和极小点。极大点取极大值（在领域）极小点取极小值（在领域）取极值条件：一阶微分为零，的解用二阶微分可以判断该点为极大（），极小（），还是拐点函数定义空间变化时（曲线簇）使值域数值为极大和极小极