关于调和映射、双调和映射和p-调和映射的研究.pdf

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1、分类号学校代码0174．5110542密级学号200810010004关于调和映射、双调和映射和p一调和映射的研究0nthestudiesofharmonic，'●-‘1-’一一．blharmonicandp—harmonlcmapplngS博士生姓名：乔金静指导教师姓名、职称：王仙桃教授学科专业：基础数学研究方向：函数论湖南师范大学学位评定委员会办公室二零一一年五月摘要解析函数是复分析中的重要研究对象．作为解析函数的推广，复平面c上的调和映射也越来越得到了人们的关注．1952年，Heinz就利用此类映射来研究单位

2、圆盘上无参最小随面的Gauss曲率(cf．【l】)．而具有里程碑意义是1984年Clunie和Sheil—Small的论文[2】．此文表明解析函数的许多经典结果对于调和映射而言仍然成立．作为调和映射的推广，双调和映射来源于许多物理问题，特别是流体力学和弹性问题，故它的研究具有明显的应用特色．作为调和映射和双调和映射的推广，在【3]中，作者定义了p调和映射，其中P≥1．当P=1(或者P=2)时，即为调和映射(或者双调和映射)．本学位论文主要研究调和映射、双调和映射和p调和映射的有关性质：首先确定了几种调和映射类和p调

3、和映射类的极值点和支点；然后讨论了p调和映射的星形性和凸性；继而研究了双调和映射的Schwarz导数、仿射和线性不变族以及p调和映射的从属；最后讨论了P调和映射邻域的存在性．全文共由六章构成，具体安排如下．第一章，主要介绍了研究问题的背景和得到的主要结果．第二章，讨论了调和映射弱从属类的极值点，并把Abu-Muhanna和Hallenbeck在【4】中提出的关于解析函数从属类极值点的弱猜测推广到调和映射情形．所得结果给出了此问题的部分回答．第三章，给出了双调和映射的Schwarz导数的概念，得到了Schwarz导数

4、解析的一些充分必要条件．同时还给出了双调和映射的仿射和线性不变族的概念，得到了有关Jacob的一些估计．第四章，主要考虑p调和映射的从属．首先利用调和映射的分解性质，得到了p调和映射从属的一个特征；然后考虑了从属P调和映射积分平均的关系，从而把Schaubroeck在[51中的相应结果推广到p调和映射情形；其次确定了P调和映射从属类闭凸包的两类极值点；最后讨论了P调和映射从属序列，得到了从属序列的收敛性与该序列对应的偏导数序列收敛性的关系．第五章，利用系数不等式，确定了两类单叶P．调和映射，并研究了这些p调和映射的

5、星形性、凸性、极值点和支点，以及p调和映射邻域的存在性．第六章，介绍了两类少调和映射，考虑了它们的性质．首先讨论了少调和映射的星形性和凸性；然后给出了两个子类的特征；其次确定了这两个子类的极值点；最后讨论了这些p调和映射的支点和邻域的存在性．关键词：调和映射、双调和映射、p调和映射、极值点、支点、从属、弱从属、p调和映射从属序列、星形性、凸性、Schwarz导数、积分平均、仿射和线性不变族、邻域．ABSTRACTAnalyticfunctionsareimportantobjectsinthestudyofcomp

6、lexanalysis．Asageneralizationofanalyticfunctions，moreandmoreattention．In1952，HeinzplanarharmonicmappingsattractusedthesemappingstostudytheGausscurvatureofnonparametricminimalsurfaces(cf．【1])．Inthestudyofharmonicmappings，alandmarkpaperis【2】inwhichClunieandSheil

7、·Smallprovedthatmanyoftheclassicalresultsforanalyticfunctionshaveanaloguesinthecaseofharmonicmappings，andSOthestudyofanalyticfunctionsbecomesasourceofproblemsforthestudyofharmonicmappings．Asageneraliza-tionofharmonicmappings，biharmonicmappingsariseinmanyphysic

8、alstudy,particularly,influiddynamicsandelasticityproblems．Asageneralizationofharmonicmappingsandbiharmonicmappings，in[3】’theauthorsintroducedthep-harmonicmappingsF，whereP≥1．Obvious