概率论_特征函数课件.ppt

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4.5特征函数特征函数定义特征函数性质逆转公式与唯一性定理小结1 问题的引出随机变量的数字特征只反映了随机变量的某些特征，一般情况下，无法仅由数字特征确定分布函数，因此需要引进随机变量的另一个指标，该指标是可以反映随机变量的本质特征，可以唯一确定随机变量的分布函数，该指标就是特征函数. 一、特征函数的定义【注1】【注2】3 特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：【注3】(1)复数的共轭：(2)复数的模：4 1、离散型则其特征函数为2、连续型这就是密度函数f(x)的傅里叶变换特征函数的计算5 常见分布的特征函数【单点分布】【二项分布】【泊松分布】6 【均匀分布】X~U[a,b]7 二、特征函数的性质与定理性质1性质2性质38 证明性质1证明9 性质2特征函数在(-,)上一致连续.证明由此可以看到，A足够大时，第一部分可以任意小，h的绝对值足够小时，第二部分也可以任意小.10 性质3证明：此性质为特征函数的非负定性.11 性质4两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积推广应用独立随机变量和的分布函数可以用褶积的方法去求解，但相当复杂，如果用特征函数去求，就相对容易。12 性质5证明：令t=0即可证明性质5.关于广义积分的求导，这是因为应用可以利用特征函数得到随机变量的各阶矩13 性质6证明14 例试求正态分布的特征函数.解先求标准正态分布的特征函数，15 由于即其他常见的分布的特征函数参见p332附录一.16 三、逆转公式与唯一性定理特征函数可以由分布函数确定，相应的由特征函数也可以唯一确定分布函数.也就是说特征函数是分布函数的本质特征.此定理的证明需要下面的引理17 则证明由狄利克雷积分可知18 因而由此可以得到引例的结论19 定理的证明：由于对于>0,因而20 因此经过交换积分次序我们可以得到21 由引理可知，22 【系1】(唯一性定理)两分布函数恒等的充要条件是它们各自的特征函数恒等。即：分布函数由其特征函数唯一确定23 同时分布函数由其连续点上的值唯一确定证明：24 利用勒贝格控制收敛定理（即极限符号与积分符合交换次序）可得25 26 例1解：三、性质与定理的应用27 例2解：28 性质的应用29