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1、§5.1孤立奇点的分类及性质二、函数的零点与极点的关系三、函数在无穷远点的性态四、小结一、孤立奇点的概念与分类2一、孤立奇点的概念及分类定义如果函数在点处不解析，在的内处处解析,则称为的孤立奇点.例1是函数的孤立奇点.是函数的孤立奇点.注意:孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤立奇点.某一去心邻域3例2指出函数在点的奇点特性.解即在的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在,函数的奇点为总有不是孤立奇点.所以4孤立奇点的分类依据在孤立奇点的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类:1．可去奇点1．可去奇点;2．极点;3．本性奇点.如果洛朗级数中不含的负幂项,那
2、末孤立奇点称为的可去奇点.1)定义5其和函数为在解析的函数.说明:(1)(2)无论在是否有定义,补充定义则函数在解析.若是的可去奇点62)可去奇点的判定(1)由定义判断:的洛朗级数无负在如果幂项，则为的可去奇点.(2)判断极限若极限存在且为有限值,则为的可去奇点.7如果补充定义:时,那末在解析.例3中不含负幂项,是的可去奇点.8例4说明为的可去奇点.解所以为的可去奇点.无负幂项另解为可去奇点.9其中关于的最高幂为即级极点.那末孤立奇点称为函数的或写成1)定义如果洛朗级数中只有有限多个的负幂项,2．极点10说明:1.2.特点:(1)(2)的极点,则为
3、函数如果例5有理分式函数是二级极点,是一级极点.112)极点的判定方法的负幂项为有的洛朗展开式中含有限项.在点的某去心邻域内其中在的邻域内解析,且(1)由定义判别(2)由定义的等价形式判别(3)利用极限判断.12课堂练习求的奇点,如果是极点,指出它的级数答案13本性奇点3.如果洛朗级数中含有无穷多个那末孤立奇点称为的本性奇点.的负幂项,例如，含有无穷多个的负幂项特点:在本性奇点的邻域内不存在且不为同时不存在.14综上所述:孤立奇点可去奇点级极点本性奇点洛朗级数特点存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项关于的最高幂为15二、
4、函数的零点与极点的关系1.零点的定义不恒等于零的解析函数，能表示成其中在解析且为某一正整数,那末称为的级零点.例6注意:不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.162.零点的判定零点的充要条件是证(必要性)由定义:设在的泰勒展开式为:如果在解析,那末为的级如果为的级零点17其中展开式的前项系数都为零,由泰勒级数的系数公式知:并且充分性证明略.从而在的泰勒展开式为18(1)由于知是的一级零点.课堂练习是五级零点,是二级零点.知是的一级零点.解(2)由于答案例7求以下函数的零点及级数:(1)(2)的零点及级数.求193.零点与极点的关系定理如果是的级极点,
5、那末就是的级零点.反过来也成立.证如果是的级极点,则有当时,函数在解析且20由于只要令那末的级零点.就是反之如果的级零点,是那末当时,解析且所以是的级极点.21说明此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法例8函数有些什么奇点,如果是极点,指出它的级.解函数的奇点是使的点,这些奇点是是孤立奇点.的一级极点.即22解解析且所以不是二级极点,而是一级极点.是的几级极点?思考例9问是的二级极点吗?注意:不能以函数的表面形式作出结论.23三、函数在无穷远点的性态1.定义如果函数在无穷远点的去心邻域内解析,则称点为的孤立奇点.Rxyo24令变换规定此变换
6、将:映射为扩充z平面扩充t平面映射为映射为映射为25结论:在去心邻域内对函数的研究在去心邻域内对函数的研究因为在去心邻域内是解析的,所以是的孤立奇点.规定:级奇点或本性奇点.的可去奇点、级奇点或本性奇点,如果是是的可去奇点、那末就称点261)不含正幂项;2)含有有限多的正幂项且为最高正幂;3)含有无穷多的正幂项;那末是的1)可去奇点;2)级极点;3)本性奇点.判别法1(利用洛朗级数的特点)2.判别方法:在内的洛朗级数中:如果27例10(1)函数在圆环域内的洛朗展开式为:不含正幂项所以是的可去奇点.(2)函数含有正幂项且z为最高正幂项,所以是的一级极
7、点.28(3)函数的展开式:含有无穷多的正幂项所以是的本性奇点.课堂练习的奇点及其类型.说出函数答案29判别法2:(利用极限特点)如果极限1)存在且为有限值;2)无穷大;3)不存在且不为无穷大;那末是的1)可去奇点;2)级极点;3)本性奇点.30例11函数在扩充复平面内有些什么类型的奇点?如果是极点,指出它的级.解函数除点外,所以这些点都是的一级零点,故这些点中除1,-1,2外,都是的三级极点.内解析.在31所以那末是的可去奇点.因为32不是的孤立奇点.所以33四、小结理解孤立奇点的概念及其分类;掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征;熟悉零点与极点的
8、关系.
