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1、;《数理统计》考试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）21，设总体X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0,3)，而(X1,X2,X9)和(Y1,Y2,Y9)是分X1X9别来自X和Y的样本，则U服从的分布是_______.解：t(9)．22Y1Y92，设?1与?2都是总体未知参数的估计，且?1比?2有效，则?1与?2的期望与方差满足_______.解：E(?)E(?),D(?)D(?)．12123，“两个总体相等性检验”的方法有_______与_______.解：秩和检验、游程总数检验．4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本
2、假定是_______.解：正态性、方差齐性、独立性．?15，多元线性回归模型YXβ中，β的最小二乘估计是β?=_______.解：β=(XX)XY．二、单项选择题（每小题3分，共15分）21，设(X1,X2,,Xn)(n2)为来自总体N(0,1)的一个样本，X为样本均值，S为样本方差，则____D___.22（A）nXN(0,1)；（B）nS(n)；2(n1)X(n1)X1（C）t(n)；（D）F(1,n1).nS2Xii2222，若总体XN(,)，其中已知，当置信度1保持不变时，如果样本容量n增大，则的置信区间____B___.（A）长度
3、变大；（B）长度变小；（C）长度不变；（D）前述都有可能.3，在假设检验中，分别用，表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n一定时，下列说法中正确的是____C___.（A）减小时也减小；（B）增大时也增大；（C）,其中一个减小，另一个会增大；（D）（A）和（B）同时成立.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设ST为总离差平方和，Se为误差平方和，SA为效应平方和，则总有___A___.SA2（A）STSeSA；（B）2(r1)；..;SA/(r1)（C）F(r1,nr)；（D）SA与Se相互独立.Se/(nr)2S回5，在一元
4、回归分析中，判定系数定义为R，则___B____.ST22（A）R接近0时回归效果显著；（B）R接近1时回归效果显著；2（C）R接近时回归效果显著；（D）前述都不对.22三、（本题10分）设总体XN(1,)、YN(2,)，(X1,X2,,Xn)和(Y1,Y2,,Yn)分别1222是来自X和Y的样本，且两个样本相互独立，X、Y和SX、SY分别是它们的样本均值和样本方差，证明22(XY)(12)2(n11)SX(n21)SYt(n1n22)，其中S.11Sn1n2n1n22证明：易知22(XY)(12)XYN(,)，UN(0,1)．12n1n2
5、11n1n2由定理可知22(n11)SX2(n21)SY22(n11)，2(n21)．2由独立性和分布的可加性可得22(n11)SX(n21)SY2V22(n1n22)．由U与V得独立性和t分布的定义可得(XY)(12)Ut(n1n22)．11Sn1n2V/(n1n22)x1e,x0四、（本题10分）已知总体X的概率密度函数为f(x),其中未知参数0,0,其它(X1,X2,,Xn)为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．xn11解：（1）v1EXxf(x)dxxedx，用v1XiX代替，所以0ni1..;n1?XiX
6、．ni1n?1（2）E()E(X)E(Xi)E(X)，所以该估计量是无偏估计．ni1五、（本题10分）设总体X的概率密度函数为f(x;)(1)x,0x1，其中未知参数1，(X1,X2,Xn)是来自总体X的一个样本，试求参数的极大似然估计．解：nn(1)(xi),0xi1L()i10,其它nndlnL()n当0xi1时，lnL()nln(1)lnxi，令lnxi0，得i1d1i1n?1．nlnxii1xe,x>0;六、（本题10分）设总体X的密度函数为f(x;)未知参数0，0,x0,1(X1,X2,Xn)为总体的一个样本，证明X是的一个UMV
7、UE．证明：由指数分布的总体满足正则条件可得211I()Elnf(x;)E，2221的的无偏估计方差的C-R下界为21122[()]12．nI()1nn2另一方面1E(X)1，VarX()，2n1即X得方差达到C-R下界，故X是的UMVUE．七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重,得其样本标准差为S0.007公斤,试问：（1）在显著性水平0.05下,可否认为该批苹果重量标准差达到要求?（2）如果调整显著性水平0.025，结果会怎样？..;2222参考数据:0.025(9)19.023,0.
8、05(9)16.919,0.025(8)17.535,0.05(8)15.507．222n1S2解：（1）H0:0.005,2~8，则应有：222P0.0580.005,0.05
