复变函数与积分变换第2章 解析函数ppt课件.ppt

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1、第二章解析函数2.1解析函数的概念2.2解析函数和调和函数的关系2.3初等解析函数§2.1解析函数的概念1.复变函数的导数定义2.解析函数的概念定义：存在,则就说f(z)在z0可导,此极限值就称为f(z)在z0的导数，记作应该注意：上述定义中的方式是任意的。如果f(z)在区域D内处处可导,就说f(z)在Ｄ内可导.一.复变函数的导数例1问f(z)=x+2yi是否可导?[解]这里所以f(z)=x+2yi的导数不存在.（即f(z)=x+2yi在整个复平面处处不可导.）例2证明f(z)=zRez只在z=0处才可导。证明例3讨论的可导性。解：所以在复平面上除原点外

2、处处不可导。例4求f(z)=z2的导数。[解]因为所以f'(z)=2z.（即f(z)=z2在复平面处处可导。）可导与连续的关系若函数在点处可导，则在点处必连续.证因为知，故在点处连续.复变函数的微分定义2称函数的改变量的线性部分为函数在点处的微分，记作，亦即由此可知，函数在点处可导与可微是等价的.可导可微；可导连续。(2)求导公式与法则①复常数的导数c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然数).----实函数中求导法则的推广③设函数f(z),g(z)均可导，则[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，[f(z)g(z)]=f

3、(z)g(z)+f(z)g(z)④复合函数的导数(f[g(z)])=f(w)g(z)，其中w=g(z)。⑤反函数的导数，其中:w=f(z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。例5解例6求下列函数的导数.（1）（2）解（1）（2）例7设.解因为所以函数在一点解析在该点可导。反之不一定成立。在区域内：例如f(z)=z2在整个复平面上解析；仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；f(z)=x+2yi在整个复平面上不解析。定义否则称为奇点。如果函数不仅在点处可导，而且在点的某邻域内的每一点都可导，则称在点处解析，并称点是函数的解析点；如果函

4、数在区域内每一点都解析，则称在区域内解析或称为区域内的解析函数，区域称为的解析区域二.解析函数的概念例8讨论函数f(z)=1/z的解析性.解：故f(z)=1/z除z=0外处处解析；z=0是它的一个奇点。解析函数的性质：(1)两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2)两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3)一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。问题：对函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，如何判别其解析（可导）性？定理2.1.1函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点z=x+iy可导的充分

5、必要条件是:u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微,在该点满足上式称为柯西—黎曼(Cauchy-Riemann)条件(或方程)，简称C—R条件(或方程)C—R条件只是可导的必要条件而非充分条件定理2.1.2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内解析的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内可微,并满足Cauchy-Riemann方程三、解析的充分必要条件注：在内连续在内可微推论2.1.2：推论2.1.1：函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点z=x+iy可导,则在该点的导数为例2讨论函数的可导性，并求其导数

6、.解由得则显然在复平面内和的偏导数处处连续且即　　　和　　　处处满足C—R条件且处处可微，所以，　　　　在复平面内处处可导且例3讨论函数　　　　　的可导性解因为得显然，、处处具有一阶连续偏导数，但仅当时，、满足C—R条件.因此，仅在点处可导.例4证明在复平面上不可微.证由于，于是，从而显然，对复平面上任意一点，都不满足C—R条件，所以在整个复平面上不可微.例5讨论下列函数的解析性.解设因为且这四个偏导数处处连续，故在复平面上处处解析§2.2解析函数与调和函数的关系定义1(称为调和方程或Laplace方程)定理1：证明：且u,v有任意阶连续偏导数同样可得注

7、：逆定理显然不成立，即对区域D内的任意两个调和函数u,v,不一定是解析函数.定义2若u与v是区域D内的调和函数且满足C-R程，则称v为u的共轭调和函数.定理2：在区域D内解析v为u的共轭调和函数.解析函数的虚部为实部的共轭调和函数例如：是解析函数，不是解析函数。公式不用强记！可如下推出：类似地，然后两端积分得，例解偏积分法故又解又解曲线积分法又解凑全微分法又解不定积分法例2验证是z平面上的调和函数,并求以为实部的解析函数,使解因在z平面上任一点故在平面z上为调和函数.先由C.-R条件中的一个得再由C.-R条件中的另一个得即故故因此由得:§2.3初等解析函

8、数1.指数函数2.对数函数3.幂函数4.三角函数5.反三角函数定义：性质：1.指