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1、本章重点和应掌握的内容用以构造单元插值函数规范化形式的两类自然坐标的建立方法和特点。构造单元插值函数的两类方法（广义Lagrange插值函数法和变结点插值函数法）的步骤和特点。阶谱单元的基本概念和特点，以及它的插值函数的构造方法和意义。Chap.3单元与插值函数的构造问题：利用广义坐标，建立有限单元法的插值函数方法繁琐，形成的单元矩阵复杂。必须注意：插值函数的构成不取决于求解的微分方程式，插值函数构造方法仅取决于：几何图形（单元形状）、结点数量与位置以及在单元结点处规定的因变量的数量。§3.1概述利用广义坐标建立有限单元法的插值函数方法，首先将场
2、函数表示为多项式的形式,然后利用节点条件,将多项式中的待定参数表示成场函数的节点值和单元几何的函数.无疑,形成插值函数的方法烦琐。尤其在形成三角形高阶单元时,利用面积(自然)坐标可以更方便地建立单元插值函数。在单元的选择上,一维单元可以是2节点线元或3节点二次元,二维单元常用3/6节点三角元或4/8/9节点四边元,三维单元常用4/10节点四面体元或8/20节点六面体元。特殊情况下,也可采用五面体元。从节点参数的类型来看,可以仅包含场函数的节点值,也可能包含场函数的导数的节点值。取决于在单元交界面上的连续性的要求,这往往由泛函(或控制微分方程)中场
3、函数导数的最高阶决定的。例如,场函数导数的最高阶为一阶时,仅要求在单元交界面上的场函数连续,即:C0连续性。从运算简单和易于满足收敛性的要求来看,采用幂函数多项式做为插值函数比较合适,因而得到广泛应用。然而在一些特殊问题中也有采用3次或5次样条函数做为插值函数的。采用幂函数多项式时,对于仅满足C0连续性要求的单元,则仅在单元的角点配置节点。随着连续性要求的增加,单元内部的函数场一般应当二次(或高次)变化,则要求不仅在单元的角点配置节点,还要在单元的边配置一至数个边节点。为了尽可能构造完全多项式,一般还会附加生成单元内部节点。到目前为止,关于单元内
4、部节点的利弊都还待深入研究。一般认为,在实体(二,三)维问题中,单元内部节点弊大于利,应尽量避免。而在板壳问题中,单元内部节点对于稳定计算是有贡献的。一.Lagrange插值多项式：1.n个结点构造n-1次Lagrange插值多项式注：1)结点i的插值函数,2)i为第个i结点坐标,3)为自然坐标即：为结点当n-1次插值函数。i=1,2…n§3.2一维单元插值函数当构造（C0）2.的性质i=1,2…n1)n-1次插值函数,共有n个2)3)3.构造一维单元插值函数：a.Lagrange线性插值(n=2)或记为：即：b.二次Lagrange插值(n
5、=3)3.2.2Hermite单元如果要求在单元的公共界面上保持场函数导数的连续性,则节点参数中还应当包含场函数导数的节点值.此时可以采用Hermite插值多项式作为单元插值函数.对于一维二节点元,Hermite插值多项式可以表示为或者其中Hermite插值多项式具有以下性质当ξ1=0,ξ2=1时,和是以下形式的三次多项式并且在端部节点最高保持场函数的一阶导数连续性的Hermite多项式称为一阶Hermite多项式.0阶的Hermite多项式就是Lagrange多项式.一般地,在节点处保持至场函数的n阶导数连续性的Hermite多项式称为n阶He
6、rmite多项式.在2节点时,它是ξ的2n+1次多项式.函数Φ的2阶Hermite多项式可以表示为或者其中3.3.1三角形单元在构造三角形单元的插值函数时,普遍采用自然(面积)坐标来形成具体的形函数,其方法直观简单.iAiA对于3节点三角形单元,引入面积坐标:Li=Ai/A单元的插值函数可以表示为:Ni=Li二次单元二次单元有六个节点,单元插值函数可以表示为iAiA其中,是通过除节点i以外所有节点的二根直线方程的左端项.例如,当i=1时,分别是通过节点4,6的直线方程的左端项和通过节点2,5,3的直线方程6145231(½,½,0)(0,½,½)
7、(½,0,½)的左端项.是节点i到直线j的正则化的距离(也即面积坐标值),因此可以得到形函数:645231(½,½,0)(0,½,½)(½,0,½)通过类似的步骤,可以得到其余各点形函数:645231(½,½,0)(0,½,½)(½,0,½)2.三次单元在构造三角形三次单元插值函数时,仍然采用自然(面积)坐标通过划线法来形成具体的形函数.对于角节点:645231(2/3,1/3,0)789(1/3,2/3,0)(2/3,0,1/3)(1/3,0,1/3)(0,1/3,2/3)(0,2/3,1/3)10(1/3,1/3,1/3)(i=1,2,3,4
8、)对于边内节点,例如4节点:对于中心节点:二.二维、三维Lagrange单元族：1.二维情况单元结点：方向n+1个点n阶插值函数方向
