抛物线的简单性质 课件 （北师大版选修2-1）.ppt

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1、2．2抛物线的简单性质第三章　圆锥曲线与方程学习导航学习目标重点难点重点：抛物线的几何性质．难点：抛物线性质的应用及焦点弦问题．新知初探思维启动1.抛物线y2＝2px(p>0)的简单性质(1)对称性：抛物线关于_____轴对称，抛物线的对称轴叫作抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．(2)范围：抛物线在y轴的右侧，其上任意一点(x，y)满足不等式___________；抛物线向右上方和右下方无限延伸．xx≥0(3)顶点：抛物线与它的轴的交点叫作抛物线的顶点，在方程y2＝2px(p>0)中，当y＝0时，x＝0，此时抛物线的顶点是坐标原点．(4)离心率：抛物线上的点到

2、焦点的距离和它到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知__________．e＝12p2.四种抛物线的简单性质比较图像标准方程y2＝2px(p>0)_________x2＝2py(p>0)_________对称轴x轴y轴y2＝－2px(p>0)x2＝－2py(p>0)范围x≥0，y∈R________________x∈R，y≤0顶点坐标原点离心率e＝1通径

3、AB

4、＝_______x≤0，y∈Rx∈R，y≥02p2.抛物线x2＝－4y的通径为AB，O为坐标原点,则()A．通径AB的长为8，△AOB的面积为4B．通径AB的长为8，△AO

5、B的面积为2C．通径AB的长为4，△AOB的面积为4D．通径AB的长为4，△AOB的面积为2典题例证技法归纳题型探究例1题型一抛物线性质的应用正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个三角形的边长．【名师点评】解本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称，解答本题要注意不能只凭主观判断而忽视了推理证明的过程．变式训练1.抛物线y2＝2x上距点M(m，0)(m>0)最近的点恰好是抛物线的顶点，求m的取值范围．例2题型二抛物线的焦点弦问题斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线相

6、交于A，B两点，求线段AB的长．【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则抛物线y2＝2px(p>0)中，

7、AB

8、＝p＋(x1＋x2)．由于抛物线y2＝4x中，p＝2，于是

9、AB

10、＝x1＋x2＋2.因为抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，且直线AB的斜率为1，所以直线AB的方程为y＝x－1①.【名师点评】与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点坐标的和还是与交点坐标的差，这是正确解题的关键．变式训练题型三直线与抛物线的位置关系例3(本题满分12分)求过定点

11、P(0，1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．【思路点拨】首先画图分析符合条件的直线的条数，若直线平行于对称轴，则根据题意直接求方程．若直线与抛物线相切，则运用根与系数的关系求方程．名师微博这是抛物线的切线.【名师点评】与抛物线只有一个公共点的直线有两类：一类是对称轴的平行线；另一类是切线．一般来说，应先由图形判断条数,然后再具体求解，以免漏解．变式训练3.已知直线l：y＝kx＋1和抛物线C：y2＝4x，根据下列条件确定k的取值范围．(1)l与C有一个公共点；(2)l与C有两个公共点；(3)l与C没有公共点．(1)当Δ>0时，即(2k－4)2－4k

12、2>0，解得k<1且k≠0，l与C有两个公共点，此时l与C相交；(2)当Δ＝0时,即(2k－4)2－4k2＝0，解得k＝1,l与C有一个公共点，此时l与C相切；(3)当Δ<0时，即(2k－4)2－4k2<0，解得k>1，l与C没有公共点，此时l与C相离．综上所述，当k＝1或k＝0时，l与C有一个公共点；当k<1时k≠0时，l与C有两个公共点；当k>1时，l与C没有公共点．备选例题1.已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．求证：2.过点Q(4，1)作抛物线y2＝6x的弦AB，恰好被Q点平分，求弦AB

13、所在的直线方程．3.如图所示，设A，B为抛物线y2＝4px(p>0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，点M为垂足，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．方法感悟方法技巧失误防范1.抛物线的顶点也在抛物线上，作为抛物线上的一个特殊点，它到焦点的距离也等于到准线的距离，解题时注意应用．2.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．知能演练轻松闯关本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放