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1、第7章参数估计(6学时)重庆大学数理学院精品课程电子课件问题的提出：已知总体的分布,确定总体分布中的某些参数.例如，已知总体分布是B(m，p)，又如N(μ,σ2)7.1概念内容:点估计区间估计7.1概念点估计问题就是要构造一个适当的统计量T来估计未知参数θ,区间估计需要构造两个适当的统计量,7.2点估计量的求法一、矩法设总体X的分布函数F(x,1,2,,k)，设X1,X2,…,Xn为来自总体X的一个样本，建立k个方程。特别,当总体的参数只有两个时,两个方程组为:注意估计量和估计值的区别.例7.2.1设总体X~N(,2),X1,X2,…,X
2、n为总体的样本,求,2的矩估计量.例7.2.2设总体X~U[a,b],X1,X2,…,Xn为总体的样本,求a,b的矩估计量.例7.2.3设总体具有密度函数求参数的矩估计量。矩法的评价:1.直观、简便；2.总体矩不存在，则不能使用；3.适合于大样本情形。二、极大似然法1.基本思想利用大概率原则。例如：设一口袋中装有黑白两色球10只，两种颜色球的比例为1:9。现从口袋中有放回地抽取3只,3只都是白球。试估计口袋中的黑球数。如何估计一堆粮食所含的杂质？如何估计同类产品其他商家的市场占有率？……估计样本(X1,X2,…,Xn)取值为(x1,x2,…,xn
3、)的概率。分两种情况讨论：1.当总体X是离散型时2.当总体X是连续型时考虑点(x1,x2,…,xn)的邻域的概率。似然函数的定义：极大似然估计原理：例7.2.4设总体X~B(1,p)，X1,X2,…,Xn是X的一个样本，求参数p的极大似然估计量。例7.2.5设总体为正态总体，μ,σ是未知参数，X1,X2,…,Xn是X的样本，求参数μ,σ2的极大似然估计量。例7.2.6设总体X~U[0,θ]，θ为未知参数，X1,X2,…,Xn为X的样本，求参数θ的极大似然估计量。例7.2.7设总体X的密度函数为求参数的极大似然估计量。思考：若总体X的分布1234似然函
4、数怎样写？如何求参数p的似然估计？假定样本为类别1234频数442514386极大似然估计的评价：充分利用了总体分布的信息；对于小样本的情况也适合；具有许多优良性质似然方程有时求解困难。7.3估计量的评价标准问题的提出：对于总体的同一个参数，如果有两个估计量，你选择哪一个？无偏性有效性一致性二、无偏性定义:若称无偏估计量。若则称渐近无偏估计量.例1设是总体X的一个样本,X~B(3,p),p2是否有无偏估计量?例7.3.3设总体X~U[0,θ]，θ是未知参数，是参数θ的矩估计量，是参数θ的极大似然估计量，问它们是否是参数θ的无偏估计量？1.如果的无偏估
5、计量,的无偏估计量吗?2.无偏估计量唯一吗?都是总体参数的无偏估计量,且则称比更有效.定义:设二、有效性例如X~N(,2),(X1,X2)是样本.都是的无偏估计量有效.三、一致性（相合性）定义：设是总体参数的估计量,满足:则称是总体参数的一致(或相合)估计量.7.4区间估计设为待估参数,是一给定的数,(0<<1).若能找到统计量，使得则称为的置信水平为1-的置信区间.置信下限置信上限一、置信区间7.4区间估计图7.1区间估计解释示意图2.1-反映估计的可靠度,1-越大,越可靠;1.置信区间的长度反映估计精度;4.确定后,置
6、信区间的选取方法不唯一,常选最小的一个。二、说明3.区间长度与可靠度之间的关系;Step1:寻找一个样本的函数三、求置信区间的步骤Step2:给定置信度1,定出常数a,b,使得Step3:由解出得置信区间四、正态分布参数的置信区间1.设X1,X2,…,Xn~N(2)(1)假设2已知,求的置信区间(2)假设2未知,求的置信区间例7.4.1某厂生产的滚珠直径X~N(μσ2)，现随机地从某天生产的一批产品中抽取6个，测得直径(单位：mm)为：14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1(1)当σ已知时，求参数μ的置信度为0.
7、95的置信区间；(2)当σ未知时，求参数μ的置信度为0.95的置信区间。(3)方差2的置信区间图7.3分布示意图例7.4.2从自动机床加工的同类产品中随机地抽取16件，测得长度值(单位:mm)为：12.5，12.12，12.01，12.28，12.09，12.16，12.03，12.01，12.06，12.13，12.11，12.08，12.01，12.03，12.06，12.07，假设产品长度X~N(μ,σ2)，求σ2的置信度为0.95的置信区间。例在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现16个次品，求这批货物次品率p的置信度为0.95的置信
8、区间。
