均值不等式公式总结及应用.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯均值不等式应用2b21.(1)若a,bR，则a2b22ab(2)若a,bRa（当且仅当，则ab22.(1)若a,bR*，则abab(2)若a,bR*，则ab2ab（当且仅当2ab时取“=”）ab时取“=”）*ab(3)若a,bR，则ab22(当且仅当ab时取“=”）3.若x0，则x12(当且仅当x1时取“=”）x若x0，则x12(当且仅当x1时取“=”）x若x0，则x12即x12或x1-2(当且仅当ab

2、时取“=”）xxx4.若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”）baab0ab即ababab2或-2若，则bababa(当且仅当时取“=”）225.若a,bR，则(a2ab（当且仅当ab时取“=”）b)22『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯应用一：求最值例1：求下列函数的值域11（1）y＝3x2＋2x2（2）y＝x＋x116∴值域为[6，+∞）解：(1)y＝3x2＋2≥23x2·2＝2x2x11(2)当x＞0时，y＝x＋≥2x·＝2；xx当x＜0时，y＝x＋111=－（－x－）≤－2x·=－2xxx∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知x5y4x21的最大值。，求函数4x45解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)1不是常

4、数，所以对4x2要进行拆、凑项，4x5x5,54x0，y4x2154x1323144x554x当且仅当51，即x1x1时，ymax1。4x时，上式等号成立，故当54x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当时，求yx(82x)的最大值。解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为

5、8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0x34x(32x)的最大值。，求函数y232解：∵0x0∴y4x(32x)22x(32x)22x32x9∴32x222当且仅当2x32x,即x30,3时等号成立。422⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯技巧三：分离x27x10例3.求y(x1)的值域。x1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其

6、分离。当,即时,y2（x459（当且仅当x＝1时取“＝”号）。1)x1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。(t2）25t441)7(t1+10tyt=tt5t,即t=时,y2t49（当t=2即x＝1时取“＝”号）。当5t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为ymg(x)AB(A0,B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。g(x)a技巧五：在应用最值定理求最值

7、时，若遇等号取不到的情况，结合函数f(x)x的单调性。x例：求函数yx25x2的值域。4解：令x24t(t2)，则yx25x211x24t(t2)4x24t因t0,t11，但t1解得t12,，故等号不成立，考虑单调性。不在区间tt因为yt11,在区间t所以，所求函数的值域为5,25单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y。2。练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.（1）yx23x1,(x0)（2）y2x1,x3(3)y2sinx1,x(0,)xx3sinx2．已知0x1，求函

8、数yx(1x)的最大值.；3．0x2x(23x)的最大值.，求函数y3条件求最值1.若实数满足ab2，则3a3b的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a和3b都是正数，3a3b≥23a3b23ab63⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯当3a3b时等号成立，由ab2及3a3b得即当时，3a3b的最小值是6．ab1ab1变式：若log4xlog4y