探究三棱锥的顶点到底面射影问题.doc

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1、三棱锥的顶点到底面的射影问题三棱锥的顶点到底面的射影落在底面的什么位置，对解决三棱锥问题有很大帮助，记住以下结论，是学好三棱锥的重要环节。PABCO图11、如果三棱锥的三条侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。下面简要证明。已知：三棱锥P—ABC，PA=PB=PC，P在底面ABC上的射影为O求证：O为△ABC的外心。证明：连结AO，BO，CO，∵P在底面ABC上的射影为O∴PO⊥平面ABC∵PA=PB=PC,∴AO=BO=CO(斜线段相等,射影相等)∴O为△ABC的外心。注：外心为三角形外接圆的圆心，

2、即三角形三条边的垂直平分线的交点。PABCO2、如果三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心。下面简要证明。已知：三棱锥P—ABC，PA，PB，PC与底面所成的角相等，P在底面ABC上的射影为O求证：O为△ABC的外心。证明：连结AO，BO，CO，∵P在底面ABC上的射影为O∴PO⊥平面ABC图2∴∠PAO，∠PBO，∠PCO为PA，PB，PC与底面所成的角∴△PAO≌△PBO≌△PCO∴AO=BO=CO∴O为△ABC的外心。PABCODEF图33、如果三棱锥的三个侧面与底面所成

3、的二面角都相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的内心。注：三角形的内心为三条角平分线的交点即到三角形三边距离相等的点。2如图3所示∠PDO、∠PEO、∠PFO是三个侧面与底面所成的二面角的平面角，它们都相等，则△PDO、△PEO、△PFO全等，OD=OE=OF，所以O为底面的内心4.如果三棱锥的顶点到底面三条边的距离相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的内心。（若射影点在多边形的内部）。证明过程同上。如图35.如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心。如图4已知：三棱锥P—A

4、BC，PA，PB，PC两两垂直，P在底面ABC上的射影为O求证：O为△ABC的垂心。证明：连结AO，BO∵PA⊥PB，PA⊥PC∴PA⊥平面PBC∴PA⊥BC∴AO⊥BC（三垂线定理逆定理）同理BO⊥AC∴O是底面三角形的垂心。6.如果三棱锥有两组对棱垂直，那么第三组对棱也垂直且顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心。如图4已知：三棱锥P—ABC，PA⊥BC，PB⊥ACPCAOP在底面ABC上的射影为O求证：PC⊥AB，且O为△ABC的垂心。证明：连结AO、BO、CO∵PO⊥平面ABC且AP⊥BC∴AO⊥BC（三垂

5、线定理逆定理）同理BO⊥AC图4∴O是底面三角形的垂心∴CO⊥AB∴PC⊥AB（三垂线定理）2