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1、第一章一般理论1.1预备知识一.Banach空间设是实数域或复数域上的线性空间，若上的实值函数满足下列条件：（1）对任何，，并且的充要条件是；（2），；（3），，则称为上的范数，而称为赋范线性空间.通常我们略去，而把简称为赋范线性空间.设是赋范线性空间，对任何，令，则是上的距离函数.因此，我们自然地把看成是度量空间.完备的赋范线性空间称为Banach空间.例如n维向量空间,对,定义范数,由导出的距离称为Euclid距离,且称为维Euclid空间,它是一个Banach空间.又如连续函数空间,对,定义范数,则是一个Banach空间,但按范数是一
2、个不完备的赋范线性空间.二.紧集与相对紧集设为度量空间,是中的子集.为相对紧集(或列紧集)的充要条件是中任一点列必有收敛子列.为闭集的充要条件是中任何收敛点列必收敛于中的点.为紧集的充要条件是为相对紧闭集(或自列紧集).在中紧集与有界闭集是一致的,但在一般度量空间中,可以证明,紧集一定是有界闭集,但反之不然.于是我们可以把闭区间上连续函数的性质推广到度量空间紧集上的连续映射上来.例如1.若是紧集上的连续映射,则在上必有界,而且可以达到上、下确界.2.紧集上的连续映射必是一致连续的.3.度量空间X上的连续映射必然把列紧集映为列紧集.三.Asc
3、oli-Arzela定理考虑定义在上的实值(维)向量函数族,如果存在,使对任何,都有,则称函数族在上是一致有界的.如果对任给的,存在,使对任何和,只要,就有,则称函数族在上是等度连续的.这里一致有界是指中所有在上有一个共同的界,等度连续是指，一个共同的,不仅对每个在上一致(即每个在上一致连续),并且对中所有一致.Ascoli-Arzela定理设=是定义在上的一致有界且等度连续的实值(维)向量函数族,则从中必可选取一个在上一致收敛的子序列.四.不动点原理设为度量空间到它自身的一个映射,如果存在数,，使对一切都有，则称为上的压缩映射.压缩映射从
4、几何上看就是和经映射后,它们的像的距离缩短了(不超过的倍,).压缩映射原理完备的度量空间中的压缩映射必有唯一的不动点(就是说,方程有且只有一个解).定理中的完备性条件不能去掉.例如,=,是如下的映射,.显然是到的压缩映射,但在中无解,即在中不存在的不动点.条件,不能减弱为.例如=[0,+),X为完备的度量空间,定义为+,.当时，但在中没有不动点.应用上常取中的一个闭子空间(子空间是完备空间的充要条件是是的闭子空间).Schauder不动点定理设是Banach空间,是凸闭集,是的连续映射,并且是相对紧集,则在中至少有一个不动点.1.2解的局部
5、存在和唯一性定理一.皮卡(Picard)定理考虑初值问题(或Cauchy问题),即方程满足初始条件的解的问题,其中，是定义在区域上的n维实值向量函数,为某一区间.历史上Cauchy在十九世纪二十年代第一个成功地建立了微分方程初值问题的解的存在和唯一性定理(因此后人常把初值问题称为Cauchy问题).1876年,Lipschity减弱了Cauchy定理的条件.1893年,Picard用逐次逼近法在Lipschity条件下对定理给出了一个新证明.定理2.1(Picard)若函数在空间中某区域:,上连续,并且关于满足Lipschity条件,即,使
6、当,时有，则初值问题（I）在区间上存在唯一解，其中，.证明思路先证明解的存在性（转化——逼近——取极限）转化证明初值问题（I）等价于积分方程.这里等价的含义是指是初值问题（I）的解当且仅当它是积分方程的连续解.逼近构造逐次逼近序列，.证明序列在：上有定义，连续且满足.取极限.证明序列及在上皆一致收敛.于是记，则在上连续，并且可通过积分号取极限，从而有，即是积分方程的连续解.最后证明解的唯一性.下面应用压缩映射原理证明定理2.1.定理2.1的证明仅考虑：的情形，对于左半区间的情形可以类似讨论.用表示定义在上一切连续的维向量函数所构成的集合.对
7、，定义它的范数为，其中为某一常数.容易证明按距离成为完备的度量空间.用表示满足条件的连续向量函数全体构成的子空间，不难看出是闭子空间，从而是完备的度量空间.令，，则是到中的映射.事实上，任取有，即当时，.又对有.从而推出，.所以是中的压缩映射，故存在唯一的，使，即，.由于积分方程定义在上的任何连续解都含于中，因此方程在上存在唯一的连续解，它等价于初值问题（I）在上存在唯一解.推论2.1若函数在区域内连续，且关于满足局部Lipschity条件[即对任一点，存在它的一个邻域，使在上关于满足Lipschity条件（注意，相应的Lipschity常
8、数与有关）]，则对任一点，都相应地有含点的一个区间，使初值问题（I）在上存在唯一解.推论2.2若函数在区域内连续并存在连续的偏导数则仍有推论1的结论成立.例1利用Picard定理
