第十三章---函数项级数习题课.doc

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1、第十三章函数项级数习题课一概念叙述1．在上一致收敛于有．2．在上不一致收敛于使得．3．在数集上一致收敛，有．，有．4．在数集上不一致收敛使得．使得．5．在上一致收敛于函数部分和函数列在数集上一致收敛于函数．二疑难解析与注意事项1．为何要讨论函数列与函数项级数的一致收敛性？答：函数列理论中重要问题是的性质（连续性，可积性，可导性）在极限过程中是否依旧保持？比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性．又如极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限．对这些问题的讨论，只要求函数列在数集上的收敛是不够的，必须对它在上的收敛性提出更高的要

2、求才行，这就是所要讨论的一致收敛性问题．由于函数项级数的收敛性可以转化为相应部分和函数列的问题来讨论，因此研究函数项级数逐项求极限，逐项求导，逐项求积分时，要讨论函数项级数的一致收敛性．2．判断函数列在上一致收敛有哪些方法？答：1）定义：在上一致收敛于有；2）柯西准则：，有，用于抽象的函数列的一致收敛性的判断；3）确界（最大值方法）：；4）估计方法（放大法）：；5）在上一致收敛在上一致收敛于0．6）Dini-定理：条件1）闭区间；2）连续性；3）关于的单调性．设函数列和函数都定义于闭区间上，在上点态收敛于，如果（1）在连续；（2）在连续；（3）关于单调，

3、即对任意固定的，是单调数列，则在上一致收敛于．注除柯西准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点态收敛性计算出极限函数．注定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断．注Dini定理中，要验证的关键条件是关于的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的，作为数列关于是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件

4、也可以改为“存在，当时”条件成立即可，但是，要注意必须是与无关的，即当时，对所有任意固定的，关于单调，因此，此时的单调性也称为对的单调性关于一致成立．3．判断函数列在上不一致收敛有哪些方法？答：1）定义：，使得；2）柯西准则：使得；3）4）在上连续，但极限函数在上不连续则在上不一致收敛．4．判断在上一致收敛于函数有哪些方法？答：1）定义：部分和函数列在数集上一致收敛于函数；2）柯西准则：，，使得当时，对一切和一切正整数，都有，即；3）；4）放大法：；5）判别法；6）阿贝耳判别法；7）狄利克雷判别法．5．判断在上不一致收敛于函数有哪些方法？答：1）定义：部

5、分和函数列在数集上不一致收敛于函数；2）柯西准则：，使得；3）；4）在上连续，但在上不连续；5）在的端点处发散，则在上不一致收敛．即：设在内收敛，每个在做左连续，若发散，则在内非一致收敛；应用：在内不一致收敛，当时不一致收敛．6）在上不一致收敛于0，则在上不一致收敛．三典型例题1．讨论下列函数序列在所示区域内的一致收敛性．（1）；（2）；（3）；（4），．解：（1）当，，；当，，因此极限函数为．因而，．所以在上一致收敛．（2）当，，；当，，因此极限函数为．因而，由基本不等式知在，即取到最大值，因此有，所以在上不一致收敛．（3）当时，，；当时，，；当时，，

6、因此极限函数为．因而，，令，则，令，得，故在处取得最大值，故有，．所以在上一致收敛．（4）当时，，；当时，，；当时，．则有，令，则，令，得，则在处达到最大值，因而，故在不一致收敛．2．讨论在下列区间上：1），2），3），4）是否一致收敛．解：1）当时，，．因而，因此在上一致收敛．2）当，，当，，．因此，极限函数为，由在连续，但极限函数不连续，因此在上不一致收敛．3）当，，因而，于是，因此在上不一致收敛．4）当，，因而，．因此在上一致收敛．3．讨论下列级数的一致收敛性．（1），；（2），（3），．解（1）法1：看成交错级数，利用交错级数的余项估计式当时，，

7、（利用不等式）当时，因此，因此在上一致收敛.法2：看成等比级数利用等比级数的余项（等比级数的和是首项/（1-公比））为等比级数，因此，因此在上一致收敛.（2）因为，因此在上一致收敛.（3）因此，因此在上不一致收敛.注：交错级数的莱布尼兹判别法:若，，，则交错级数收敛，且和，余项.4．讨论下列级数的一致收敛性．（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）由于，因此，而在上不连续．于是在上不一致收敛．（2）法1：因为，故，．因而．令，则，令，则，于是在处取最大值，因而．故在一致收敛．法2：记，则故在处达到最大值，因而由判别法可得，在一致收敛．（3）法1：由于，

8、．因此在上一致收敛．法2：令由于有界，而，故对任意固定的单调下降，且，即在上一致