机械优化设计第四节无约束坐标轮换法ppt课件.ppt

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1、坐标轮换法的基本思想它是无约束多维函数的优化方法中最简单的一种，它将一个无约束n维优化问题转化为依次沿着相应的n个坐标轴方向的一维优化问题来求解。2.3、坐标轮换法1.基本思想(原理)：二维迭代过程：推广到n维迭代过程个变量固定不动只变化第一个变量着第一个变量即由初始点沿进行一维搜索，得到好点(2)保持除外的个变量不变，沿第二变量进行一维搜索。得到好点(1)先将的方向此时的搜索方向为（3）如此沿方向(即坐标方向),且将前一次一维搜索的极小点作为本次一维搜索的起始点，依次进行一维搜索后，完成一轮迭代。为起始（4）若未收敛则以前一次的末点点，进行下一轮的循环，如此一轮一

2、轮迭代下去，直到满足收敛准则，逼近最优点为止。2.迭代计算步骤1)取初始点作为第一轮的起点精度迭代终止置个坐标轴方向矢量为单位坐标矢量沿第个坐标方向，用一维搜索方法求最优迭代步长和各分量式中为第轮迭代中沿第坐标方向为第轮迭代中沿第坐标方向的最优步长（通过一维优化求出最优解）2)按照上式公式进行迭代计算，式中k为迭代轮数的序号，取k＝1，2，…，为该轮中一维搜索的序号，依次取i＝1，2，…，n。步长通过一维优化方法求得。3)按点距准则判断是否收敛（采用迭代准则是一轮迭代的始点与终点之间的点距，而不能按某搜索方向的前后迭代点）都满足迭代终止并输出最优解否则令返回步骤(2

3、)坐标轮换法的流程图：入口给定沿方向一维搜索求是否是否出口特点：简单易行，但由于它只能轮流沿几个坐标方向前进，因而效率低下，特别是维数较高n>10或目标函数性质不好的情况下收敛速度慢。本方法的收敛效率在很大程度上取决于目标函数等值线的形状。当椭圆簇的长短轴与坐标轴斜交，迭代次数将大大增加，收敛速度很缓慢。目标函数等值线为椭圆簇其长短轴与坐标轴平行或同圆簇等值线收敛效率高速度快，若目标函数等值线出现脊线时沿着坐标轴方向搜索均不能使函数值有所下降，算法中将失效，这类函数对坐标轮换法来说是病态函数。搜索过程的几种储况a)搜索有效b)搜索低效c)搜索无效例：用坐标轮换法求目

4、标函数给定初始点精度要求解：作第一轮迭代计算沿方向进行一维搜索的无约束最优解：求最步长即极小化此问题可用某种一维优化方法求出在这里用微分学(解析法)求导解出:令一阶导数为零可得以为起点沿方向一维搜索求最步长：得对于第一轮终止条件检验继续进行第二轮迭代计算以下各轮列于下表迭代轮数k154.56.7322.251.1252.516迭代轮数k30.5630.2820.62340.1410.0710.15850.0350.0180.04计算第五轮的有近似优化解为：2.4、共轭方向法1、共轭方向坐标轮换法的收敛速度很慢，原因在于其搜索方向总是平行于坐标轴，不适应函数变化情况如

5、图所示若把一轮的起点与末点连起来形成一个新的搜索方向,与有何关系。如图所示，设给定两个平行方向,从两个任意初始点分别，显然分别是两条平行线与函数等值线的相切点.沿这两个平行方向进行一维搜索求得极小点二维函数的共轭方向与连结二切点构成向量。即则可以证明若函数矩阵为正定矩阵则方向的海色与满足下式具有这样性质的方向，即是共轭方向如图所示，同心椭圆簇具有这样一个特点，就是二条任意平行线的切点的连线必通过椭圆族的中心。共轭方向的定义：设A为阶实对称正定矩阵,而为维空间中的两个非零向量，如果满足则称向量关于对称正定矩阵A是共轭的或关于A共轭共轭方向的性质1)设A为阶实对称正定矩

6、阵,为对A共轭的n个非零向量，则这n个向量是线形无关的2)在n维空间中互相共轭的非零向量的个数不超过n。即:共轭向量的个数最多等于n(单位坐标向量系是一组线性无关的共轭向量的最简单例子，且它们也是正交向量系)。3)设A为阶实对称正定矩阵，是关于A的个互相共轭的非零向量。对于正定二次函数的极小化寻优问题，从任何初始点出发依次沿方向经次一维搜索即可收敛到极小点这种性质表明这种迭代方法具有二次收敛性。对于二元二次正定函数为共轭方向，若为起始点,分别沿方向作（经过两个共轭方向的一维搜索得到极小点）一维搜索即可到达二元二次正定函数的极小点。明确了共轭方向的概念，再来证明设二元

7、函数在极值点附近的二次泰勒近似展开式为由此可求得函数的一阶导数故有由于两平行方向为等值线的切线,其切点分别为故方向应垂直于处的梯度方向.为目标函数在方向的极小点两点目标函数的梯度都与矢量正交即有即有所以在两式相减的而故由上式可得推演到n维函数即在n维空间中可以同时构成n个关于H的共轭方向对于对称正定二次n维函数从任意初始点出发顺序沿着这个线性无关的方向进行一维搜索就得到目标函数的极小点(可以证明)。因而说共轭方向法具有有限步收敛的特性通常称具有这种性质的方法为二次收敛法.但对于非二次n维目标函数经过有限步共轭方向一维搜索，不一定就能达到极小点。在这种情况下，可取