第三章图像变换ppt课件.ppt

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1、第三章图像的变换处理3.1频域世界与频域变换3.2傅立叶变换3.3频域变换的一般表达式3.4离散余弦变换3.5离散沃尔什哈达玛变换3.6用MatrixC++库实现图像变换的VC++编程3.7小波变换简介3.1频域世界与频域变换任意波形可分解为正弦波的加权和正弦波的振幅A和相位φ（a）波形的频域表示(a)幅频特性；(b)相频特性时域和频域之间的变换可用数学公式表示如下：为能同时表示信号的振幅和相位，通常采用复数表示法，因此上式可用复数表示为完成这种变换，一般采用的方法是线性正交变换。3.2傅立叶变换3.2.1连续函数的傅立叶变换若把一个一维输入信号作一维傅

2、立叶变换，该信号就被变换到频域上的一个信号，即得到了构成该输入信号的频谱，频谱反映了该输入信号由哪些频率构成。这是一种分析与处理一维信号的重要手段。当一个一维信号f(x)满足狄里赫莱条件，即f(x)（1）具有有限个间断点；（2）具有有限个极值点；（3）绝对可积。则其傅立叶变换对（傅立叶变换和逆变换）一定存在。在实际应用中，这些条件一般总是可以满足的。一维傅立叶变换对的定义为(3.2.1)(3.3.2)式中：，x称为时域变量，u称为频域变量。以上一维傅立叶变换可以很容易地推广到二维，如果二维函数f(x,y)满足狄里赫莱条件，则它的二维傅立叶变换对为(3.2.

3、9)(3.2.10)式中：x,y为时域变量；u,v为频域变量。3.2.2离散傅立叶变换要在数字图像处理中应用傅立叶变换，还需要解决两个问题：一是在数学中进行傅立叶变换的f(x)为连续（模拟）信号，而计算机处理的是数字信号（图像数据）；二是数学上采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。通常，将受这种限制的傅立叶变换称为离散傅立叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT)。设{f(x)

4、f(0),f(1),f(2),…,f(N-1)}为一维信号f(x)的N个抽样，其离散傅立叶变换对为(3.2.17)(3.2.18)式中：x，u=0，1，2，

5、…,N－1。注：上式中的系数1/N放在二试子之一即可，有时也可在傅立叶正变换和逆变换前分别乘以，这是无关紧要的，只要正变换和逆变换前系数乘积等于1/N即可。由欧拉公式可知可得(补充)可见，离散序列的傅立叶变换仍是一个离散的序列，每一个u对应的傅立叶变换结果是所有输入序列f(x)的加权和（每一个f(x)都乘以不同频率的正弦和余弦值），u决定了每个傅立叶变换结果的频率。通常傅立叶变换为复数形式，即式中，R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部。上式也可表示成指数形式：F(u)=

6、F(u)

7、ejφ(u)其中(3.2.6)(3.2.8)通常称

8、F(u)

9、为f(x)的频谱或

10、傅立叶幅度谱，φ(u)为f(x)的相位谱。频谱的平方称为能量谱或功率谱，它表示为考虑到两个变量，就很容易将一维离散傅立叶变换推广到二维。二维离散傅立叶变换对定义为(3.2.20)(3.2.21)式中：u,x=0,1,2,…,M-1；v,y=0,1,2,…,N-1；x,y为时域变量，u,v为频域变量。像一维离散傅立叶变换一样，系数1/MN可以在正变换或逆变换中，也可以在正变换和逆变换前分别乘以系数，只要两式系数的乘积等于1／MN即可。二维离散函数的傅立叶频谱、相位谱和能量谱分别为式中，R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部。3.2.3离散傅立叶变

11、换的性质二维离散傅立叶变换的性质1.可分离性由可分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行，其中每一步都是一个一维傅立叶变换。先对f(x,y)按行进行傅立叶变换得到F(x,v)，再对F(x,v)按列进行傅立叶变换，便可得到f(x,y)的傅立叶变换结果。显然对f(x,y)先按列进行离散傅立叶变换，再按行进行离散傅立叶变换也是可行的。用两次一维DFT计算二维DFT2.平移性质平移性质表明，只要将f(x,y)乘以因子(－1)x+y，再进行离散傅立叶变换，即可将图像的频谱原点（0，0）移动到图像中心（M／2,N／2）处。下图是简单方块图像平移的结果。傅立叶频谱平移示

12、意图(a)原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱(a)(b)(c)3.旋转不变性由旋转不变性可知，如果时域中离散函数旋转θ0角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。离散傅立叶变换的旋转不变性如图所示。离散傅立叶变换的旋转不变性（a）原始图像；（b）原始图像的傅立叶频谱；（c）旋转45°后的图像；（d）图像旋转后的傅立叶频谱(a)(b)(d)(c)3.3频域变换的一般表达式3.3.1可分离变换二维傅立叶变换可用通用的关系式来表示：(3.1.1)(3.1.2)式中：x,u=0,1,2,…,M－1；y,v=0