中考数学复习指导一元二次方程的基本解法.docx

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1、中考数学复习指导一元二次方程的基本解法一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法．方程ax2+bx+c=0(a0)称为一元二次方程．一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法．对于方程ax2+bx+c=0(a0)，△=b2-4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即当△=0时，方程有两个相等的实数根，即当△＜0时，方程无实数根．分析可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解．因为所以例2已知方程(2019x)2-20192019x-1

2、=0的较大根为a，方程x2+2019x-2019=0的较小根为，求-的值．解由方程(2019x)2-20192019x-1=0得(20192x+1)(x-1)=0，(x+2019)(x-1)=0，故x1=-2019，x2=1，所以=-2019．所以-=1-(-2019)=2019第1页例3解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．分析本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1)，将方程变为3x-1=4x+1，所以x=-2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下．解(3x-1)(x-1)-(4x+

3、1)(x-1)=0，(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0，(x-1)(x+2)=0，所以x1=1，x2=-2．例4解方程：x2-3｜x｜-4=0．分析本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义．解法1显然x0．当x＞0时，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1(舍去)．当x＜0时，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1(舍去)．所以原方程的根为x1=4，x2=-4．解法2由于x2=｜x｜2，所以｜x｜2-3｜x｜-4=0，所以(｜x｜-4)(｜x｜+1)=0，所以｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)．所以x1=4，x2=-4．例5已知二次方程第2页3

4、x2-(2a-5)x-3a-1=0有一个根为2，求另一个根，并确定a的值．解由方程根的定义知，当x=2时方程成立，所以322-(2a-5)2-3a-1=0，故a=3．原方程为3x2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，例6解关于x的方程：ax2+c=0(a0)．分析含有字母系数的方程，一般需要对字母的取值范围进行讨论．当c=0时，x1=x2=0；当ac＞0(即a，c同号时)，方程无实数根．例7若k为正整数，且关于x的方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0有两个不相等的正整数根，求k的值．解原方程变形、因式分解为(k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0

5、，[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0，即4，7．所以k=2，3使得x1，x2同时为正整数，但当k=3时，x1=x2=3，与题目不符，所以，只有k=2为所求．例8关于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有实根a和，且｜｜第3页+｜｜6，确定m的取值范围．解不妨设方程的根，由求根公式得｜｜+｜｜=+=5＜6，符合要求，所以m21．解设小球摆成正三角形时，每边有x个球，则摆成正方形时每边有(x-2)个球．此时正三角形共有球此时正方形共有(x-2)2个球，所以即x2-9x+8=0，x1=1，x2=8．因为x-21，所以x1=1不符合题意，舍去．所以x=8，此时共有球(x-2)

6、2=36个．第4页