圆锥曲线中最值问题解题策略

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1、圆锥曲线中最值问题解题策略　　摘要：圆锥曲线是高考必考内容，以椭圆、双曲线、抛物线为载体，考察圆锥曲线的综合问题。其中最值问题是考试中的常见题型，它可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查同学们的思维能力、实践和创新能力。关键词：圆锥曲线；最值问题中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1006-3315（2013）03-018-002圆锥曲线是高考必考内容，以椭圆、双曲线、抛物线为载体，考察圆锥曲线的综合问题。其中最值问题是考试中的常见题型，它可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查同学们的思维能力、实

2、践和创新能力。下面例析与圆锥曲线有关的最值问题。一、构造函数法例1：（2013模拟试题）已知椭圆C：■+■=1（a>b>0），F1、F2分别为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有■=λ■（其中λ为实数）。（1）求椭圆C的离心率e；（2）过焦点F2的直线l与椭圆C相交于点M、N，若△F1MN面积的最大值为3，求椭圆C的方程。7解析：本题（1）问中，根据△F1PF2重心、内心满足■=λ■，即与G、I的纵坐标相同，从而可以求出内切圆半径，通过求△F1PF2的面积可以得到一个a与c的关系式，求出离心率e；第（2）问给出△F1MN面积的最大值，应构

3、造△F1MN面积关于直线l斜率倒数m的函数关系式，通过求函数的最大值，求出椭圆的方程。解：（1）设P（x0，y0），焦点F1（-c，0）、F2（c，0）∴重心为G（■，■），又∵■=λ■，所以内心I的纵坐标为■∴S△F1PF2=■

4、F1F2

5、·

6、y0

7、=■（

8、PF1

9、+

10、PF2

11、+

12、F1F2

13、）

14、■

15、∴2c·3=2a+2c，∴e=■=■（2）由（1）可设椭圆C的方程为：■+■=1（c>0），直线l方程为：x=my+c且直线l与椭圆C的交点M（x1，y1），N（x2，y2）由■+■=1x=my+c得：（4+3m）y2+6mcy-9c2=0∴y1+y2=-■，y1y2=-■∴

16、S△F1MN=

17、F1F2

18、·

19、y1-y2

20、=c■=12c2■令m2+1=t，则有t≥1且m2=t-1∴■=g（t）=■=■=■易知g（t）在[1，+∞）单调递减，∴g（t）max=g（1）=■7∴S△F1MN的最大值为12c2·■=3c2∵△F1MN面积的最大值为3∴c2=1∴椭圆C的方程为■+■=1点评：圆锥曲线中的有些最值问题，可以把所求最值问题转化为函数的最值问题，通过解决某些函数（比如二次函数、反比例函数、双勾函数等）的最值问题得到所求结果。二、不等式法例2：（2012浙江五校改编）设椭圆■+■=1（a>b>0）的焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），直线l

21、：x=a2交x轴于点A，且■+■=0。（1）试求椭圆的方程；（2）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DEMN面积的最大值和最小值。7解析：本题（1）问中，根据■+■=■得到F2为AF1的中点，从而求出a；第（2）问四边形DEMN的面积S=■

22、DE

23、·

24、MN

25、，所以分别求出弦长

26、DE

27、、

28、MN

29、，并表示出面积关于斜率k的函数关系式，通过构造函数，利用基本不等式，函数自变量的取值范围及函数的单调性，求出面积的最大值和最小值。需要注意的是直线DE、MN斜率不存在时要单独考虑。解：（1）由题意，

30、F1F2

31、=2c=2，A（a

32、2，0）∵■+■=■∴F2为AF1的中点，∴a2=3，b2=2即椭圆方程为■+■=1（2）当直线DE与x轴垂直时，

33、DE

34、=■=■，此时

35、MN

36、=2a=2■，四边形DEMN的面积S=■

37、DE

38、·

39、MN

40、=4。同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DEMN的面积S=■

41、DE

42、·

43、MN

44、=4。当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE所在直线方程为：y=k（x+1），D（x1，y1），E（x2，y2），由■+■=1y=k（x+1）得（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0∴x1+x2=-■，x1x2=■∴

45、DE

46、=■

47、x1-x2

48、=■=■将上式的k代换成-■可得

49、MN

50、=■

51、=■∴四边形DEMN的面积S=■

52、DE

53、·

54、MN

55、=■·■·■=■令t=k2+■，得S=■=4-■∵t=k2+■≥2，且在[2，+∞）上单调递增，∴当t=2时S取得最小值■7∴在[2，+∞）上，■≤Sb>0）有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切。　　（1）求m的值与椭圆E的方程；（2）设Q为椭圆E上的一动点，求■·■的取值范围。解析：本题（1）问根据点、椭圆、直线的位置关系求出相应的圆、椭圆的标准方程。第（2）问用坐标表示■·■的数量积，利用椭圆的参数方程求出最值。解：（1）∵A（3