统计物理习题解答.doc

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1、第一章习题1.一质点按的规律作简谐振动。试证明，如果测量质点位置的采样时间均匀分布，测得质点的位置在x到的几率为xtx解：只考虑一个周期即可。将t看作在0~2/ω均匀分布的随机变量，则X的分布函数为于是2.已知几率分布其中的变化围是。(1)求几率密度函数(2)求为任意值，在到的几率。解：(1)由归一化条件→则(2)于是3．已知几率分布,其中，的变化围是0至。试求的平均值，方均根值，平均平方偏差和相对涨落。解：(1)(2)则(3)(4)4.一光子的能量与动量有如关系，c为光速。若光子在容器中自由运动，求能量在—之间的量子态数。（对应每一个动量有两个偏振方向，即两个不同的状态）解：在的

2、量子态数为（考虑了光子两个偏振态，故乘2）在的量子态数为在P~P+dP的量子态数为（）再作变换ε=cP，则在的量子态数：5.已知二维谐振子的能量为证明态密度函数与成正比。（提示：四维椭球的体积正比于四个半轴长的乘积）证明：将谐振子能量方程写成这是四维相空间中的一个椭球。其中四个半轴长分别为，在这椭球的量子态数目为A是比例系数。则即第二章习题一维线性谐振子的能谱为系统的温度足够低(1)求振子处于第一激发态与基态的几率之比。(2)如果振子只占据第一激发态与基态，试计算其平均能量。解：(1)已知：(2)注意：则：2.由波尔兹曼分布导出麦克斯韦速率分布律。解：若能把粒子数写成即可。在p10

3、6例2已求出：但则：所以：3.由2的结果计算速率的平均值。解：把写成，可以看出刚好是分子“速度”取v的概率，于是由题结果知：4.服从波尔兹曼分布的某理想气体粒子的能量与动量的关系为，c为光速，若共有N个粒子，试计算此气体的热容量。解：则：5.被吸附在表面的单原子分子，能在表面上自由运动，可看作是二维的理想气体，试计算其摩尔热容量，设表面大小不变。解：设二维分子可活动的围面积为S，一个分子的能量为，则：所以则：6.在体积为V的容器中，有N个相互独立的能量与动量的关系为的粒子，试证明其压强P与体积能U之间存在如下关系证明：利用4题结果：而：则：证毕。7.设处在重力场中的N个单原子分子理

4、想气体，气柱高度为H，截面积为S，试求气柱的能和定热容量。解：由P105例1已算出配分函数为：其中A与b无关。于是可算出利用知：8.经典转子的能量为其中，试计算配分函数和N个转子系统的热容量。解：，于是则：9.当选择不同的能量零点时，粒子第个能级的能量可以取为或。以△表两者之差，试证明相应配分函数存在以下关系，并讨论由配分函数和求得的热力学函数有何差异。证明：当取能级为时，，当取时，证毕讨论：则：可见子系能级的零点选取不同并不影响状态方程和熵函数，但对能的数值有影响。10.晶体中含有N个原子，原子在晶体中的位置如图中的0所示，当原子离开正常位置而占据图中的´位置时，晶体中就出现缺位

5、和填隙原子，晶体中的这种缺隙称为夫伦克尔(Frenkel)缺陷。(1)假设正常位置和填隙位置的数目都是N。试证明由于在晶体中形成n个缺位和填隙原子而具有的熵等于(2)设原子在填隙位置和正常位置的能量差为。试由自由能为极小的条件证明，在温度为T时，缺位和填隙原子数为（设）(提示：计算在N个正常位置和填隙位置中出现个缺位和填隙原子有多少种可能的情况。)解：(1)设无缺陷（理想）晶体的熵为零，按玻氏关系，由于形成n个缺陷而具有的熵与这种缺陷所发生的可能位置（状态）有关。在N个正常原子位置出现n个缺位可以有个可能；而对于这些可能的缺位原子（n个）又可能在N个“x”位置产生种放法，故可能的缺

6、陷可产生种微观状态，于是(2)又设：原子在正常位置的能量取为零，则：平衡态取最小值，则：则：所以11.如果原子脱离晶体部的正常位置而占据表面上的正常位置，构成新的一层，晶体将出现缺位，晶体的这种缺陷叫肖脱基(Shottky)缺陷。以N表示晶体中正常原子数，表示晶体中的缺陷位数。如果忽略晶体体积的变化，试由自由能为极小的条件证明，在温度为T时（设）其中W为原子在表面位置与正常位置的能量差。(提示：当晶体中出现个肖脱基缺陷时，共有N+n个正常位置出现n个缺位有多少种可能情况。)解：在个正常位置中有个缺位，有种。则由得即：，则：。12.若气体以恒速沿方向作整体运动，求分子的平均平动能量。

7、假设。解：按经典近似：可以把看做是系统中状态在的粒子的个数，于是：就可看做是粒子处于状态的概率密度函数。但是，右端积分可以算出来于是：于是注意奇函数对称区间积分为零，所以：上式注意：中第一项为3个相同的积分，，故为：而中第二项为于是：13.系统由N个线性谐振子组成。试证明，在温度为T时，能量等于或大于给定能量的振子数为。证明：证毕。14.线性谐振子的经典表达式为，试计算经典近似的配分函数、能和熵。解：15.假设双原子分子在平衡距离附近做简谐振动，试证明分子的平均线度等