第九章欧氏空间习题答案说课材料.doc

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1、精品好文档，推荐学习交流第九章欧氏空间习题答案一、填空题1.0；2.，；3.；4.；5.；6.；7.，；8.；9.；10.线性变换在某基下的矩阵；11.0，；12.它们的维数相同；13.，1；14.；15.正交；16.；17.正定的。二、判断题1-5××√√√6-10√×√√√11-15√√√×√16-20√√×√×三、选择题1-5CDBCC6-10CACB(BD)11-15BDAAA16-18ABB四、计算题1.由，故特征值为。当时，有，则基础解系为，单位化为；当时，有，则基础解系为，单位化为；当时，有，则基础解系为，单位化为。仅供学习与交流，如有侵权请联

2、系网站删除谢谢10精品好文档，推荐学习交流则令，为正交阵，有。1.（1），由于二次型正定，则，即。（2）当时，则。由，特征值为。故标准形为。2.二次型矩阵为。由于正交变换得到的标准形为，则的特征值为，故，可得。当时，有，则基础解系为，单位化为；当时，有，则基础解系为，单位化为；当时，有，则基础解系为，单位化为。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢10精品好文档，推荐学习交流则令，为正交阵，有。1.设属于特征值的特征向量为，则，即，基础解系为，。把，单位化为，。单位化为。令，为正交阵，有。进一步得到。2.当时，则故对于任何整数，该集合均为正交向量组。3.

3、令的一组基为，则有，可得在这组基下的度量矩阵为。由，特征值为。仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢10精品好文档，推荐学习交流当时，有，则基础解系为，单位化为；当时，有，则基础解系为，单位化为令为正交阵，使得。则对角阵不是单位阵。1.令对应的二次型矩阵为（1）正交变换：由，故特征值为。当时，有，则特征向量为，单位化为；当时，有，则特征向量为，单位化为；当时，有，则特征向量为，单位化为。则令，为正交阵，有，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢10精品好文档，推荐学习交流则标准形为。（2）平移变换：即，作非退化线性替换，即。1.。不妨设，则，其中设的

4、一组标准正交基为，则。因为是对称矩阵，则是对称变换。由，故特征值为。当时，有，则特征向量为，单位化为；当时，有，则特征向量为，单位化为。则令，为正交阵，则存在一组标准正交基使得，则有。2.设且，，则仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢10精品好文档，推荐学习交流，即可取。把正交单位化如下，。，，。为的一组标准正交基。1.由，故特征值为。当时，有，则特征向量为，属于特征值0的全部的特征向量为，其中为任意常数。单位化为；当时，有，则特征向量为，单位化为。则令为正交阵，则存在一组标准正交基使得，则有。五、证明题1.，即。2.令，，则，。则，仅供学习与交流，如

5、有侵权请联系网站删除谢谢10精品好文档，推荐学习交流，即，则是一个对称变换。1.必要性是显然的。下面来证明充分性。由于，即，因此，从而是单射，又由于存在双射，并且有。因此欧氏空间与一个同构映射。2.不妨设是向量组的一个极大线性无关组，下证是向量组的一个极大线性无关组。令，则有则，由于线性无关，则，即线性无关。根据的极大性，则，即。故，也即是说是向量组的一个极大线性无关组，即，从而。3.（1）左边（2）右边4.，则。又因为都是对称变换。则上式可化为，故是对称变换。5.令，，，则仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢10精品好文档，推荐学习交流有解秩秩秩秩与

6、同解。1.设实对称矩阵，则。而为的阶顺序主子式，。故当充分大时，，。故可得是正定矩阵。2.是正交变换，则，。设是向量组的一个极大线性无关组，则是向量组的一个极大线性无关组。否则的话线性无关。因为的极大性，则线性相关。即存在不全为零的，满足，从而即，即线性相关这是矛盾的。再将单位化为，即仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢10精品好文档，推荐学习交流，其中，由于，则令，从而也使正交单位向量组。分别扩充为的两组标准正交基，既有；。定义，使得，。为正交变换，从而，则，即。从而，。进而，。暑期课外文言文阅读练习一、水仙（清）李渔水仙一花，予之命也。予有四命，各

7、司一时：春以水仙兰花为命；夏以莲为命；秋以秋海棠为命；冬以腊梅为命。无此四花，是无命也。一季夺予一花，是夺予一季之命也。水仙以秣陵①为最，予之家于秣陵，非家秣陵，家于水仙之乡也。记丙午之春，先以度岁无资，衣囊质②尽，迨③水仙开时，索一钱不得矣。欲购无资，家人曰：“请已之，一年不看此花，亦非怪事。”予曰：“汝欲夺吾命乎？宁短一岁之寿，勿减一岁之花。且予自他乡冒雪而归，就水仙也。不看水仙，是何异于不反金陵，仍在他乡卒岁乎？”家人不能止，听予质簪珥④购之。（节选自《闲情偶寄》）[注释]①秣陵：指南京。②质：抵押。③迨：等到。④珥：用玉做的耳饰。1.解释下列加点词语

8、。（4分）（1）各司一时（2）欲购无资（3）请已之（