《勤提炼，活运用，促提高》.doc

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1、勤提炼活运用促提高——双A字基本图形在解题中的应用相似是初中几何的核心模块，是中考中的重要考点，也是考查学生分析问题和解决问题及综合能力的重要载体．相似往往与三角形、四边形、圆等几何图形结合，使问题的难度加大．要突破这一难点，不仅要牢固掌握三角形相似的基本判定、性质和相关定理，还需要借助丰富的图形识别经验．为此在平时教学中，我们要适当提炼一些基本图形，并有意识地进行基本图形专题方面的训练，进行几何基本图形的识别和运用．下面结合近年的中考、竞赛试题，提炼出相似问题中常见的“双A”字图形，让我们体会基本图形在解题中化隐为显、化难为易的作用．一、“双A”字图形及其基本结论如图1，在中，点D、E

2、、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，则(1)；（2)；（3）若Q是BC中点，则DP=PE；反之亦然.上面结论的证明较简单，由DE∥BC知，，改写后即为(ⅰ)．根据等比性质，上式进一步得到,即(ⅱ)．由Q是BC中点和结论(ⅰ)，得，即(ⅲ)．从上面基本图形(即图1)的结构看，象两个并排着的背靠背的英文字母“A”，我们暂且称之为“双A”字图形.若熟悉上面基本图形的结构特点，在平时学习中，对于几何图形比较复杂的试题，便能较快地分离出隐藏其中的基本图形，抓住问题本质，从而快速解决问题.二、直接运用基本图形解题例1、已知，如图2，在中，DE∥BC,交AB、AC于D、E，点

3、F是三角形外一点，FD、FA、FE分别交BC于P、G、Q，求证：．解析：所证的四条线段都在同一条直线上，无法直接运用相似的性质证明，可尝试寻求过渡比实现解题．找出这四条线段所在的三角形，很快发现DM、ME与所证结论有关联，且这六条线段存在于两个“双A”字图形中，其中一个“双A”字型是倒放着的．在中，正放着“双A”字图形，由DE∥BC，利用结论(ⅰ)得；在中，倒放着“双A”字图形，由PQ∥DE，利用结论(ⅰ)得；比较所得的两个比例式，因有过渡比，因此，即．点评：根据所证结论并结合题设图形的鲜明特征，找出其中隐藏着的“双A”字图形，运用该图形的结论，得出比例式，利用过渡比便可快速证题.例2、

4、（济宁中考题）在一次数学课上，一位同学提出：“谁能帮我用一副没有刻度的三角板找出线段AB的中点？”小华说：“我能做到，我的做法是，用这副三角板任作一条直线MN∥AB;在直线AB、MN的同侧任取一点P，连接PA、PB,分别交直线MN于C、D；再连接AD、BC,相交于点E;画射线PE交线段AB于点O，点O就是线段AB的中点.”你认为O是线段AB的中点吗？说明理由.解析：先按照题意画出如图3的图形，因为CD∥AB，结合“双A字”图形和结论(ⅰ)知①，又在“8字”形的对顶三角形中有，即②,结合①②得，即，故AO=BO.因此O是线段AB的中点.点评:由两条直线平行的条件可看出题设图形中隐藏着的“双

5、A”字图形，同时还隐藏着“8字”形的对顶三角形，这样得出相关的比例线段，用过渡比实现证题．例3、（武汉中考题）在中，，正方形DEFG的四个顶点在的边上，连接AG、AF分别交DE于M、N两点。（1）如图4，若AB=AC=1，直接写出MN的长；（2）如图5，求证：.解析：(1)由正方形DEFG和等腰直角三角形的条件，易得出△BDG、△CEF都为等腰直角三角形，那么BG=DG=GF=EF=FC=，又由DE∥BC，利用“双A字”图形及结论(ⅰ)知：．则MN=DM=NE=．（2）易知∠DGB=∠EFC=，由同角∠C的余角相等易知∠B=∠FEC，则△BGD∽△EFC,因此，又GF=DG=EF，即①．

6、又由DE∥BC利用“双A字”图形及结论(ⅰ)知:,,两式相乘得②,结合①和②得．点评：本题是相似与三角形、四边形相结合的综合题，要运用相似的性质进行解题，而解题的关键在于运用基本图形快速得出相关线段成比例．其中，第（1）问是“双A字”基本图形的直接应用；第（2）问除了“双A”字图形外，还蕴含有“两角对应相等的三角形相似”的基本图形，由相似的性质得出比例式，两者有机结合，使问题易于解决．从几何图形中直接分离出基本图形，运用图形的性质相对容易，而如何从几何图形中构造出基本图形进行运用，是解题的难点所在．为此必须仔细观察题目给予的图形并研究图形的结构特点，结合已知条件或所求、所证内容，产生丰富

7、联想，构造出能解决问题的基本图形．三、构造基本图形解题例4、（黄石中考题）已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线，在弧上任取一点C（点C与A、B不重合），过点C作CD⊥AB于D，E是CD的中点，连接BE并延长交AP于点F，连接CF．（1）当点C是的中点时（如图6），求证：直线CF是半圆O的切线；（2）当点C不是的中点时（如图7），试猜想直线CF与半圆O的位置关系，并证明你的猜想．解析：（1）图6中，由AB为直径，AP为切线