2021届新高考数学备考艺考生百日冲刺专题21 数列的求和（解析版）.docx

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1、2021届新高考数学备考艺考生百日冲刺专题21数列的求和数列的求和的方法（1）等差数列求和公式：（2）等比数列求和公式：（3）错位相减法：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和（4）裂项相消：的表达式能够拆成形如的形

2、式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多（5）分组求和如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前项和中含多少个周期即可（2）通项公式为分段函数（或含有15/15，多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是

3、序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和（3）倒序相加：若数列中的第项与倒数第项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，题型一公式法例1、(2019通州、海门、启东期末）设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4，则它的前5项和S5＝________．【答案】62　【解析】设公比为q，因为a1＝2，a3＝a2＋4，所以2

4、q2＝2q＋4，解得q＝2或q＝－1，因为{an}为正项数列，所以q＝2，所以S5＝＝62.变式1、.已知是等差数列的前项和，若，，则数列的前21项和为________.【答案】63【解析】由等差数列的性质可知为等差数列，且首项为，公差为，所以数列的前21项和为63.题型二、分组求和法例2、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知数列满足：.15/15（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；（2）求数列的前项和.【解析】（1）证明：因为，所以．因为所以所以．又，所以是首项为，公比为2的等比数列，所以．（2）解

5、：由（1）可得，所以．变式、数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于________．15/15【答案】n2＋1－.【解析】：Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋＝n2＋1－.变式2、．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝________.【答案】9【解析】：S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.题型三

6、、裂项相消法例3、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列是等比数列，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【解析】（1）设数列的公比为，∵，∴，∴，∵，15/15∴，∴，即：，解得：.∴，∴.（2），∴.变式1、（2020届山东省德州市高三上期末）已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.15/15【解析】（1）当时，，整理得，，解得；当时，①，可得②，①－②得，即，化简得，因为，，所以，从而是以为首项，公差为的等差数列，所以；（2）由（1）知

7、，因为，.题型四、错位相减法例4、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和．15/15【解析】（1）设的公比为，由题设得即.所以解得（舍去），.故的公比为.（2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以，.可得所以.变式1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，解得.所以.15/15（Ⅱ）因此.所以，，相减得.故：.变式2、（

8、2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列的前项和满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【解析】（1）因为,,所以,,两式相减得,整理得,即,,所以为常数列,所以,15/15所以（2）由（1）,,所以两式相减得：，，化简得1、（2020届山东省临沂市高三上期末）设，向量，，.（1）试问数列是否为等差数列？为什么？（2）求数列的前项和.【