平面向量基本定理(教案).docx

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1、3.2平面向量基本定理教案【教材分析】1.向量在数学中的地位向量是近代数学中重要的概念，它不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具。2.本节在教学中的地位平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转化为坐标运算的重要基础；该“定理”以二维向量空间为依托，可以推广到n维向量空间，是今后引出空间向量用三维坐标表示的基础。3.本节在数学思维方面的培养价值平面向量基本定理蕴含了转化的数学思想。并把对事物的研究转化为对事物基本要素研究的典型范例，这是人们认识事物的一种重要方法。【目标分析】知识与技能理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图

2、形中的任一向量表示为一组基底的线性组合；初步会利用平面向量基本定理解决简单问题。过程与方法1.通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，培养“维数”的基本观念；2.通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴含的转化思想。情感态度与价值观1.培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的过程；2.与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。【教学重点、难点】重点：平面向量基本定理的理解与应用。难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程。【教学方法】引导探究、讨论交流。【教学过程设计】教学环节教学内容师生活动设计意图

3、引入同桌两人为一组，一个同学在平面上任意画两个向量e1、e2并分别乘以一个实数再相加减，如3e1+2e2,让另一个同学做出所得的向量。师生共同回顾其中所利用的知识教师进一步抛出新的问题：在平面内任意画一个向量，一起讨论能否用形如λe1+μe2的向量表示出来？教师边作图边引导学生回顾向量的加法、减法及数乘运算，平行四边形法则。教师提示其实就是物理学中力的合成和分解问题。学生动手作图并在教师的引导下复习旧知识。让学生通过自己动手做图，再对向量的加减法和数乘运算进行复习，加强学生对旧知的巩固。通过游戏开场，引发学生学习的兴趣；同时新的游戏题目，激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课。、

4、分层探究探究一任意画出的向量是否一定可以用“一个”已知的非零向量表示？（复习共线向量定理）探究二任意画出的向量是否一定可以用“两个”已知的不共线向量表示？如图1，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内的任一向量。e2ae1图1请你将向量分解成图中所给的两个方向上的向量。小组对照，比较分解成的两个向量的方向和长度是否一致？教师提问：学生画完图后，小组对照，比较分解成的两个向量的方向和长度是否一致，即观察分解的结果是否唯一？(学生观察并讨论)探究结果:分解结果一致，即该分解唯一。教师提问：既然可以分解成e1、e2两个方向上的向量，那么是否可以用含有e1、e2的式子表示出

5、来？(学生回答，教师板书)板书：=e1，=λ1e1；教师引导学生探索新知。学生动手操作，体会定理的探索过程。教师层层深入引导探索，从简单到复杂，从特殊到一般，让学生亲身经历定理的发生、形成过程，并体会探索问题的思路。定理形成=e2=λ2e2；==+=λ1e1+λ2e2追问：这一对实数λ1、λ2是否唯一？(学生讨论并回答)教师点评：分解结果的唯一，决定了两个分解向量的唯一，由共线向量定理知，有且只有一个实数λ1使得=λ1e1成立，同理，实数λ2也唯一，即一组实数λ1、λ2唯一确定。探究三探究二中的向量可否用另外两个不共线的向量表示出来？教师在黑板上另画向量和两个不共线的向量e3、e4

6、请一位同学画出新的分解。探究结果：可以选取不同的不共线的向量表示向量。探究四请同学们把刚刚同桌任意画出的向量用两个不共线的向量表示出来。探究结果：平面内任一向量都可以分解成两个给定方向上的向量。教师引导学生尝试概括定理，得到平面向量的基本定理及相关概念。学生活动（思考并讨论）：（1）作为基底的这两个向量是什么位置关系？（共线还是不共线，共线为什么不行）（2）表示平面上任一向量的基底有多少组？（无数组）（动画演示）（3）当基底确定后向量的表示是否唯一？（唯一）启发学生得出定理，强调定理中的重点词句，剖析这其实是把向量代数化，为研究问题带来极大方便。学生通过分层探究的过程归纳总结定理得

7、出平面向量基本定理的内容，进一步强化理解。定理运用aMABCDb例已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，设=，=b，试用基底、b表示、、和。思考一：能否用、b表示、？用怎样的法则运算？思考二：，与哪些向量有关？学生回答，并完成题目，归纳解题方法。分析：、b不共线，所以平面内的所有向量都可以用它们作基底来表示。2此类题目的关键是找所求向量与基底间的关系，常通过观察图形，运用向量加减法的平行四边形法则和三角形法则来寻求。练习1如图：质量为10kg的物体A沿倾角为3