不可压缩与可压缩流体的静压强分布.doc

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1、不可压缩与可压缩流体的静压强分布马健（物理0801班，扬州大学物理系，扬州，225002)【摘要】由于静止流体中没有切应力，取微小元得出流体的平衡方程f-▽P=0（f是体力密度)，根据压强梯度垂直于等压面可知在静止流体中f也垂直于等压面，一般情况下液体所受体力只是重力，因此，只要知道体力密度便可求得流体的静压强分布。「关键词」静止流体体力密度静压强分布0引言对流体静力学的研究，在社会生产中具有重要的意义。通过研究流体的运动规律，可以在水利工程建筑中和船体建造中发挥很大的作用。1.流体内一点的压强yABCS1S3S2xzO图1在静止流体内

2、任一截面两方之间没有切向作用力，而只有由压强产生的正应力，我们任取点O,在其邻近划出一个小四面体OABC，如图1,设平面ABC与OBC、OAC、OAB的夹角分别为α、β、γ,平面ABC、OBC、OAC、OAB的面积为S、S1、S2、S3，作用在这些面上的压强分别为p、p1、p2、p3.因为小四面体受力平衡，先考虑x轴方向,作用在平面ABC上的压力为pS，则在x轴方向的分量为—pScosα，于是得到沿X轴方向的力平衡方程：—pScosα+p1S1=0因为S=S1cosα所以p=p1同理，在y、z轴方向上可得类似结果，因此p=p1=p2=p

3、3（1）这表示在流体内任意一点的压强与方向无关,也即是该点压强各向同性。前面的书上也已经讲到了,但这里方程式（1)的推导忽略了重力，原因是当长度趋于无穷小时小四面体的各面面积都是二阶无穷小量，而重力正比于体积，属于体积力，比起面积是高阶小量,所以可以忽略。（1）式对于流动的液体也成立。xzyxzz+dzx+dx图22.流体的平衡方程与上面的方法一样，在流体内划分出一个小体元，不过为了便于分析，这次取一个长方体，如图2，三棱边沿坐标轴方向,边长为dx、dy、dz。同样先考虑x轴方向,由于没有切应力，所以沿x轴方向的合力为FX=［P(x)—

4、P(x+dx）]dydz=—dxdydz设小长方体受到的体积力的密度,称为体力密度，为f（x,y，z），在x轴、y轴、z轴方向上的分量分别为fx、fy、fz，则其受到的体积力为f（x,y,z）dxdydz，所以小长方体的平衡条件为—+fx=0，-+fy=0,—+fz=0，即流体的平衡(2）条件为f-▽P=0(2）▽P=++，称为压强梯度。由流体的平衡方程（2）可知,流体所受的体力一定要是保守力，流体才能平衡.3．不可压缩流体的静压强分布由方程（2)可知，流体的静压强梯度等于体力密度,又因为压强梯度▽P是垂直于等压面的，所以体力密度f也垂

5、直于等压面。其实由反证法就可以证明，如一杯水放在桌上,处于静止状态，其自由表面的压强即为大气压强，所以静止流体的自由表面即是一个等压面，若f并不垂直于自由表面，那就具有那就具有切向分力，，那液体的表层将有切向流动,就不再是静止流体了。一般情况下，流体只受重力，所以液体自由表面与重力垂直,因为重力指向地心,所以静止液体的自由表面是一个球面。下面看一个实际问题：图3θxzmgmxω2O『问题』想必大家都曾经有过泡茶的经历，当你搅动茶杯内的水时,就会看到这样的现象：茶杯内的茶叶都会向中间聚集。这是为什么呢?为了搞清这个问题,我们假设有一杯水，

6、如图3，杯中的水绕中心轴匀速旋转,角速度为ω,先看看其自由表面是怎样一种形状。我们选择一个竖直剖面，即图中的zOx平面,杯中的水质点除受到重力外，还受到惯性离心力mxω2的作用，水面应与这两个力的合力垂直,设合力与重力的方向夹角为θ,于是tanθ=又因为tanθ是曲线z(x）的斜率，所以tanθ=则dz=dx积分得z=x2+z0式中z0为水面最低处距杯底的高度。这是一个抛物线方程，令其绕z轴旋转则得到旋转抛物面z=（x2+y2）+z0即为此时水杯中水的自由表面的方程.到这里问题算是解决了三分之一。要解释问题中提出的现象，还需要用到前面的

7、流体平衡方程，即流体静压强梯度▽P等于体力密度f，因此知道f就可以求得静压强分布。这里假设流体都是不可压缩的，我们先考虑桌面上有一杯水,只在重力的作用下处于静止状态，取向上为z轴方向，原点取在液面，则重力的体力密度为f=—ρgk，相应的势能密度为V（r）=ρgz，由于f=▽V=—▽(ρgz）所以由平衡方程f-▽P=0得▽(ρgz+P)=0就有P(z)=P0-ρgzP0为液面压强，所以液面下h处的压强为P=P0+ρgh(3），这就是中学物理中就有的静压强公式。下面再来解决上面的问题就不是很难了,除了要考虑重力势能外，还要计入惯性离心势能

8、,则相应的势能密度为V=ρgz—ρ（x2+y2）ω2所以静压强分布为P(r）=P0–ρgz+ρ(x2+y2）ω2即在图3中，由液面竖直向下h处的压强为P(r)=P0+ρgh+ρ(x2+y2）ω2好了，问题解