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1、数分高代定理大全-CAL-FENGHAL-(YICAI)-CompanyOne124数分高代定理大全《高等代数》第一章带余除法对于円刘中任意两个多项式/(X)与g(x),其中g(x)工0,—定有P［x］中的多项式q(x),r(x)存在，使/(x)=q(x)g(x)+r(x)成立，其中3(心))C(g(x))或者心)=0,并且这样的67(a),r(x)是唯一决定的.定理1对于数域P上的任意两个多项式f(xlg(x),其中g(x)丰0,g(x)If(x)的充分必要条件是gW除fM的余式为零.定理2对于P［x］中任意两个多
2、项式f(x),g(x),在P［x］中存在一个最大公因式d(x),且d(x)可以表示成g(x)的一个组合，即有P［刘中多项式/心),v(x)使d(x)=tt(x)/(x)4-咻)g(x).定理3鬥川中两个多项式/(A),g(x)互素的充分必要条件是有P［x］中的多项式/心),v(x)使H(X)/(X)+v(x)g(x)=1•定理4如果(/*(x),g(x))=1,且f(x)Ig(x)h(x),那么f(x)Ih(x).定理5如果“(x)是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式,由pMIf(x)g(x)一定推出p(x)If
3、(x)或者p(x)Ig(x).因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数n1的多项式/(X)都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式fM=pt(x)p2(x)••-ps(x)=qx(x)^2(x)--qt(x),®么必有s=/,并且适当排列因式的次序后有卩©)=叩©),：=2…,s,其中q(i=l,2,・・・,s)是一些非零常数.定理6如果不可约多项式p（x）是f（x）的比重因式（心）,那么它是微商广（x）的重因24式.定理7（余数定理）用一次多项式去除多项式/（A-）,所得的
4、余式是一个常数，这个常数等于函数值.定理8Pfx]中“次多项式（Z?>0）在数域P中的根不可能多于"个，重根按重数计算.定理9如果多项式f（x）,g（x）的次数都不超过〃，而它们对八+1个不同的数Q],勺，…£+
5、有相同的值,即/（匕）=g（冬）J=1,2,…H+1,那么f（X）=g（X）.代数基本定理每个次数的复系数多项式在复数域中有一根.复系数多项式因式分解定理每个次数XI的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.实系数多项式因式分解定理每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与
6、二次不可约因式的乘积.定理10（高斯（Gauss）引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.定理12设f{x）=anxn+・・・+兔是一个整系数多项式，而二是它的有理S根，其中⑺互素，那么必有特别地，如果/（X）的首项系数4=1,那么/（X）的有理根是整根，而且是山的因子.定理13（艾森斯坦（Eisenstein）判别法）设f（x）=altx'1++•••+«0是一个整系数多项式，如果有一
7、个素数卩，使得1.pIa„；2.pI»***»"o；3・p2J山那么/（x）在有理数域上是不可约的.24第二章定理1对换改变排列的奇偶性.定理2任意一个"级排列与排列12..//都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.你吗2…气定理3设d=??…，州表示元素吗的代数余子式，则下列公式成♦•♦5an2…％立：ClkA+绞2人2+…+aknAm当k=i、0,当&知•・如州+勺人丿+・・・+%%=力，当1=厶一0,当J.定理4（克拉默法则）如果线性方程组耳內+如心+…+气暫二勺，。2內+他2
8、吃+…+6“俎=h2><“内+绻2兀+・・・+4如俎=bnCl\a2…a的系数矩阵人=◎如…附♦••_^1%…%_的行列式d=A^0,那么该线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为州=尘左=电,...,兀=如，其中（1是把矩阵人中第丿•列换成方程组的常数项ddd也,…,®所成的行列式，即坷1…dij-iS切+i…％“21•••°2J-l”2“2J+l…如zrl…"anj^…％定理5如果齐次线性方程组24⑷內+如七+…+為兀严。，①內+如兀2+・・・+。2届=0,匕內+勺血+・・・+%兀=0的系数
9、矩阵的行列式国工0,那么它只有零解•换句话说，如果该方程组有非零解，那么必有国=0・定理6（拉普拉斯定理）设在行列式£>中任意取定了一1）个行.山这k行元素所组成的一切R级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D・如知•…％%如…入定理7两个n级行列式0=^21如…①”♦••♦•••••和£)2=b2lb22…方2”♦♦•♦♦•♦♦•的5C
