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1、精品分组求和法石典题导入[例1](2011•山东高考等比数列｛an｝中，ai,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且ai，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818⑴求数列｛an｝的通项公式；(2)若数列｛bn｝满足：bn=an+(-1)nlnan，求数列｛bn｝的前2n项和S2n.[自主解答]⑴当ai=3时，不合题意；当ai=2时，当且仅当a2=6,a3=18时，符合题意；当a1=10时，不合题意.因此a1=2,a2=6,a3=18.所以公比q=3，故an=2-n31.(2)因为bn=an+(—1)nlnan=2・n-
2、1+(-1)nln(2n-1)=2-n31+(—1)n(ln2—In3)+(-1)nnln3,所以S2n=b1+b2+•••+b2n=2(1+3+•••+32n—1)+[-1+1-1+…+(-1)2n](ln2-1—32nln3)+[—1+2—3+…+(—1)2n2n]ln3=2乂+nln3=32n+nln3—1.1—3白由题悟法分组转化法求和的常见类型(1)若an=bn±Cn,且｛bn｝,｛Cn｝为等差或等比数列，可采用分组求和法求｛an｝的前n项和.-可编辑-精品的数列，其中数列｛bn｝,｛Cn｝是等比数列或等差bn,n为奇数，⑵通项公式为an=cn,n为偶数-可编辑-精品数列，可采用
3、分组求和法求和.2以题试法1.(2013•威海模)已知数列｛xn｝的首项X1=3，通项Xn=2np+nq(n€N*,p,q为常数)，且X1,X4,X5成等差数列.求：(1)P,q的值；(2)数列｛Xn｝前n项和Sn的公式.解：(1)由X1=3，得2p+q=3，又因为X4=24p+4q,X5=25p+5q，且X1+X5=2X4，得3+25p+5q=25p+8q,解得p=1,q=1.(2)由(1)，知Xn=2n+n，所以Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=2n+1—2+nn+11.11112•数列1,,34,58,7亦，…的前n项和Sn为().11A.n2+1—B.n2+2—一2
4、n—12nC.1D.n2+2—1解析由题意知已知数列的通项为an=2n—1+—,2门n1+2n—1则Sn=2—11-1—一22n1+=n2+1—.12n1—_2答案C3.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且a3=5,S15=225.⑴求数列｛an｝的通项公式;-可编辑-精品⑵设bn=2an+2n，求数列｛bn｝的前n项和Tn.解析：（1）设等差数列｛an｝的首项为ai，公差为d,ai+2d=5,由题意，得15X1415ai+d=225,2a1=1,解得-'an=2n-1.d二2,1⑵・.bn=2an+2n=?'4+2n,•'Tn=b1+b2+…+bn1=;(4+42+…+4n)+2(1
5、+2+…+n)4n+1-^22=+n2+n=—・哟+n2+n—一.6333.设｛an｝是公比为正数的等比数列，a1=2,a3=a2+4.(1)求｛an｝的通项公式；(2)设｛bn｝是首项为1，公差为2的等差数列，求数列｛an+bn｝的前n项和Sn.解析(1)设q为等比数列｛an｝的公比，则由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4,即q2—q—2=0，解得q=2或q二一1(舍去)，因此q=2.所以｛an｝的通项为an=2•-1=2n(n€N*)-可编辑-精品21—2n⑵Sn=5.求和Sn=1+111+一+-24解和式中第k项为2k—121—k2=211—-21「Sn=21—2+=2[(1
6、+1+•+11a-(2+尹…+刁]nn—1+nX1+x2=T+1+n2—2.-可编辑-精品-可编辑-精品111—一22n=2n—6.数列｛an｝的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,an+2—an=1+(—1)n(n€N)，贝VS100=答案2600解析由an+2—an=1+(—1)n知a2k+2—a2k=2,a2k+1—a2k—1=0,「a1=a3=a5=—=a2n-1=1，数列｛a2k｝是等差数列，a2k=2k.•■S100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6+…+a100)100+2X50=50+(2+4+6+…+100)=50+2=2600.192565n•2+1
7、7.求和：(1)Sn=+一+—+—+•••+248162n111⑵Sn=X+2+X2+:2+-+Xn+二2.Xx2xnn•2+11解⑴由于an=——=n+，1111•'Sn=1+1+2+2+3+3+…+n+n2122232n-可编辑-精品111-nn+122nnn+1+=2121--21—_+1.2n⑵当x=±1时,11x2+x22+…■•+xn+2xnSn=4n.当x^±l时,1Sn=X+—2+X11=x2+2+二+x
