高一数学寒假课程第4讲-基本初等函数.docx

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1、第四讲基本初等函数一、知识梳理1.指数与对数的概念ab＝NblogaN（a＞0，a1）2.指数与对数的性质指数运算性质①arasars(a0,r、sQ），②(ar)sars(a0,r、sQ），③(ab)rarbr(a0,b0,rQ）（注）上述性质对r、sR均适用.对数运算性质①logaMN＝logaMlogaN②logaMlogaMlogaNN③logaMnnlogaM（M、N＞0,a＞0,a1）推广：logamMnnlogaMm④换底公式：logaNlogbN1，b1）（a，b＞0，alogba3.指数函数、对数函数的概念形如y＝ax（a＞0且a≠1，x＞

2、0）叫做指数函数（exponentialfunction），其中x是自变量，函数的定义域为R.形如y＝logax（a＞0且a≠1，x＞0）的函数，叫做对数函数（logarithmicfunction）.（1）指数函数、对数函数的定义是一个形式定义，注意指数函数与幂函数的区别；（2）注意底数的取值范围.4.指数函数、对数函数的图像和性质（略）.5.幂函数（1）幂函数定义：一般地，形如yx(R)的函数称为幂函数，其中为常数.（2）幂函数性质：①所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；②0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)上是增函数.

3、特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；③0时，幂函数的图象在区间(0,)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.二、方法归纳1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；3.比较几个数（幂或对数值）的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差.4.指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解

4、决问题的重要途径.三、典型例题精讲3131【例1】比较下列各数的大小：2323log20.35,,lg25,,lg15,55解析：∵log20.35＜0，其他各数都大于零，故log20.35最小；又∵lg10＝1，lg100＝2，∴1＜lg15＜lg25＜2＜23＝8，对于3512与3513，首先，它们都属于区间（0,1），且是同底的幂，考虑函数y＝3x3为减函数，∴5512＜3513.3131于是有log20.35232355lg15lg25.又例:比较下列各组数的大小：（1）60.7，0.76，log0.76；（2）log1.10.7，lo

5、g1.20.7解析：（1）∵60.7＞1，0＜0.76＜1，log0.76＜0，∴log0.76＜0.76＜60.7.（2）∵log1.10.711.，log1.20.7log0.71.1log0.71.2又函数y＝log0.7x为减函数，∴0＞log0.71.1＞log0.71.2.∴log1.10.7＜log1.20.7.再例：当０＜a＜b＜1，下列不等式正确的有（）A.1aC.1a1bb1a1abb2B.1aD.1aaa1b1bbb解析：∵0＜1b＜1a＜1，又函数y＝(1b)x为减函数，y＝xa在（0,1）上为增函数，∴1bb＜1ba＜

6、1aa，故选D.技巧提示：利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性，同时充分利用0和1为桥梁，能使比较大小的问题得到解决.【例】已知函数y＝a2x2ax1（a＞，a≠1）在区间[－，上的最大值为14，求a的值.2011]解析：∵y＝(ax1)22＝(u1)22，又1x1，当a＞1时，u[1,a]，u1，(u1)22为u的增函数.a∴函数的最大值为14a22a1a3或a5(舍)当0＜a＜1时，u[a,1]，u1，(u1)22为u的增函数.a1211或a1(舍）∴函数的最大值为1421aaa35综上得，a1或a3.3技巧提示：指数函数与二次函数的复合函数，讨论复合

7、函数的单调性是解决问题的重要途径又例：已知f(x)＝log4(2x3x2).求（1）f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)的最大值及对应的x的值.解析：（1）由2x3x20，得f(x)的定义域为(1,3)，记u＝2x3x212＋4，对称轴为x＝1.＝－（x－）∴f(x)的增区间为（－1，1】，减为区间【1，3）.（2）∵u＝－（x－1）2＋4≤4，∴当x＝1时有最大值y＝1.1【例3】函数y132x1的定义域是（）1)B.(1]C.(,)D.(,1]A.[,,222x12x12x1(1)0，解析：由110，得11，即13333由(1)x为减函数，∴2x1

8、0.故所求定义域为x1.选A.32技巧提示：这里充分