论文幂零矩阵的性质与应用

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1、本科毕业论文论文题目：幂零矩阵的性质与应用学生姓名：白雪学号：1004970231专业：数学与应用数学班级：数学1002班指导教师：徐颖玲完成日期：年月日幂零矩阵的性质与应用内容摘要在高等数学中，矩阵是研究和解决问题的重要工具,幂零矩阵又是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中具有举足轻重的地位，实际应用方面也有重要的意义。幂零矩阵具有很多好的性质，本文将深入挖掘这些性质，并且用不同的方法去分析论证这些性质。同时本文还给出幂零矩阵自身特有的一些性质，讨论了矩阵是幂零矩阵的充分必要条件，并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的优越性，并通过例子说明其在实际中的应用。关

2、键词：幂零矩阵线性变换逆矩阵若尔当标准型特征值迹.PropertiesandApplicationsofNilpotentMatricesAbstractMatrixactsasakeyroleinstudyingandsolvingthequestionsinadvancedmathematics.Asspecialformsofmatrix,nilpotentmatricesplayakeyrolenotonlyinthetheoryofmatrixbutalsoinpracticalapplication.NilpotentMatrices

3、havemanygoodproperties.Inthepaper,wewillfindandprovewithvariousmethodsthesepropertiesinprofundity.Thepaperwillgivesomeuniquepropertiesofnilpotentmatricesanddiscussesthenecessaryandsufficientconditionofnilpotentmatrices.Thenthepapershowsitssuperiorityinsolvinginversematrix,and

4、explainsitspracticalapplicationbyexamples.Keywords:NilpotentmatrixLineartransformationInversematrixJordancanonicalformCharacteristicTrace.目录一、预备知识1（一）概念1（二）引理2二、幂零矩阵的性质3（一）幂零矩阵的特性3（二）矩阵是幂零矩阵的几个充分必要条件4（三）幂零矩阵和若尔当块5（四）幂零矩阵的其他性质7三、幂零矩阵的应用10（一）幂零矩阵在矩阵求逆中的应用101．可求幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆10

5、2．求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆11（二）幂零矩阵在其他方面的应用13结论15参考文献16随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、微分方程、力学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学的领域，矩阵理论也有着十分重要的作用。幂零矩阵在这些领域中也发挥着重要的作用，自20世纪60年代以来，许多学者探讨了一些幂零矩阵的性质，获得了许多重要的研究成果。1964年Give证明了n阶矩阵A是幂零矩阵的充要条件是，近年来

6、幂零矩阵得到了进一步发展。在我们学到矩阵的乘法运算时曾给出了幂零矩阵的定义，但对它的介绍甚少，因此我们将加强这方面的研究与总结。本文将归纳总结幂零矩阵的一些性质，有其自身所特有的特征，它和线性变换、若尔当标准形等方面的联系，还有其性质的具体应用，在后面的应用中我们提到了一些特殊矩阵的求逆，这体现了幂零矩阵的优越性。2预备知识2.1概念定义1.设为阶方阵，若存在正整数，使，则称为幂零矩阵。定义2.设为幂零矩阵，满足的最小正整数称为的幂零指数，并称是次幂零矩阵。显然，阶零矩阵是特殊的幂零矩阵，其幂零指数为1。定义3.设，称为的转置，称为的伴随矩阵，其

7、中为中元素的代数余子式。定义4.阶矩阵，称为的迹，记为。显然，的全体特征值的和等于。定义5.形为16的矩阵称为若当块，其中为复数，由若干个若当块组成和准对角称为若当形矩阵。定义6.称为矩阵的特征多项式。满足的的值称为矩阵的特征值。2.1引理引理1.设，为阶方阵，则。引理2.相似矩阵具有相同的特征值。引理3.（哈密尔顿—凯莱定理）设是阶方阵，是的特征多项式，则有。引理4.设为阶矩阵的特征值，则有，且对任意的多项式有的特征值为。引理5.每一个阶的复矩阵都与一若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去若当块的排序外被矩阵唯一决定的，它称为的若当标准形。引理6.

8、若当形矩阵的主对角线上和元素为它的特征值。引理7.阶若当块的最小多项式为且有。引理8.,为阶复数域上的矩阵，若，则存在可逆矩阵，使得，1