悄然升温的空间轨迹问题

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1、悄然升温的空间轨迹问题图1ABCP通常的立体几何题是线面平行和垂直关系的证明题或空间的角、距离、体积的计算题．随着新的课程标准的实施，类以培养学生自主学习能力和开拓创新精神的探索题、开放题和交汇题正在逐步走进课堂，走进高考，成为大家关注的热点，如空间动点轨迹问题，这类问题融开放性、探索性、交汇性于一体，既有利于激发学生参与的积极性，培养学生的各种思维能力，又能起到沟通立体几何与解析几何、立体几何与代数之间联系的作用．下面谈谈这类问题的求解策略．一、聚焦轨迹平面，寻找线面关系在空间的某个或某些点运

2、动的前提条件下，要论证或判定某些位置关系，一般要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一平面，再利用线面、面面平行或垂直的有关性质加以证明或作出判定．例1．如图1，定点A和B都在平面内，定点，，C是内异于A和B的动点，且PC⊥AC。那么，动点C在平面内的轨迹是（）A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点解析：由三垂线定理的逆定理得∵AC⊥PC且PC在内的射影为BC，∴AC⊥BC.∴∠ACB=900.∴C点的轨迹为以AB为直径

3、圆，但除去A、B两点SCPGFODBAE点评：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形。不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型。这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹。例2．如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，E为BC的中点，点P在侧面SCD内及其边界上运动，且总保持PEAC。求动点P的轨迹解：当点P在

4、CD边上时，由PEAC及BDAC可知，此时，P为CD的中点F；当点P在SC边上时，由PEAC及SBAC可知，此时，P为SC的中点G。于是猜想P点的轨迹是SCD的CD和CS边上的中位线FG。证明如下：因为FEAC，GEAC，所以AC平面EFG，得到ACFG。故P点的轨迹是SCD的CD和CS边上的中位线FG。点评：本题以空间直线与平面的位置关系为依托，研究平面解析几何的点的轨迹问题，立意新颖，构思巧妙，有利于培养综合运用多学科知识的能力．二、探寻轨迹条件，联想轨迹定义图2若动点P运动时保持某些距离或

5、角度满足一定条件不变，求它运动的轨迹，通常联想解析几何中有关的轨迹定义（如圆、圆锥曲线、线段的垂直平分线、角平分线、球等），从而拓化条件，以利于轨迹判断．例3．如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的的曲线是（）（A）直线（B）圆（C）双曲线（D）抛物线解：显然，点P到直线C1D1的距离就是点P到点C1的距离，由此，易知点P到C1的距离等于P到BC的距离，由抛物线的定义，应选D

6、.点评：本题是以立体几何知识为载体，考查圆锥曲线定义，将立体几何问题转化为平面解析几何中的轨迹问题．AOP图3例4．如图3，已知平面∥平面，平面、间的距离为8，点P在平面内，则在平面内到点P的距离为10的点的轨迹是（）A.一个圆B.一条直线C.一个点D.不存在解：过点P作平面的垂线，设垂足为O，则PO=8，又设平面内一点A到点P的距离为10，连PA、OA，则在PAO中，由勾股定理可得OA=6。可知A点的轨迹为圆，故选A。三、挖掘变量关系，建立目标函数由于某些点的运动，通常会引起与之相关的距离和角

7、的大小的变化，随之而来的是求某距离戟角的取值范围（或最值）一类问题．对这类问题，通常以引起尸运动的基本量（距离或角）为自变量，建立目标函数，再利用求函数最值的方法，使问题获解．图4（2）例5．高10米和高15米的两根旗杆竖在地面上，相距20米，求地面上到两旗杆顶点的仰角相等的点的轨迹．解：如图4(1),AC,BD是两根旗杆，平面ABP为地面，点P为地面上任一点，由题意知∠CPA=∠DPB,∴tan∠CPA=tan∠DPB,即如图(2)，在平面ABP中以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，

8、建立直角坐标系，则A(-10,0),B(10，O），设点P(x,y)，则有

9、AP

10、=,

11、BP

12、=,∴化简，得x2+y2+52x+100=0．即(x+26)2+y2=576．因此P点轨迹是以(-26,0)为圆心，以r=24为半径的圆．点评：根据题目的信息，利用空间几何性质，把立体几何问题转化到平面上，再利用解析几何方法求轨迹，实现三体几何到解析几何的过渡．图5例6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，的棱长为1，点P是平面AC内的动点，若点P到直线A1D1的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P