《平面向量及运算的坐标表示》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

《《平面向量及运算的坐标表示》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

第二章平面向量及其应用2.4平面向量基本定理及坐标表示第二课时平面向量及运算的坐标表示◆教学目标1．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．3．能用坐标表示平面向量共线的条件．◆教学重难点◆重点：平面向量的坐标表示和运算．难点：平面向量线性运算和坐标表示下的共线关系表达．◆教学过程一、新课导入问题1：回顾上节课的内容，说说平面向量基本定理的内容是什么？答案：如果e1，e2是同一平面内两个不共线向量，那么对于该平面内的任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基，记为｛e1，e2｝．追问1：标准正交基的定义是什么？答案：若基中的两个向量为互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基．（如图所示）yjxiO 二、新知探究问题2：平面向量能不能像平面直角坐标系中的点一样用坐标来表示？答案：能．如图所示：对于坐标平面内的任意非零向量a均可通过平移至以坐标原点O为起点作，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使．因此，．我们把(x，y)称为向量a在标准正交基i，j下的坐标．向量a可以表示为a=(x，y)．显然，i=(1，0)，j=(0，1)．追问：点的坐标与向量坐标有何区别？（1）向量a=(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．（2）平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．（3）在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y).问题3：平面内的向量可以用坐标表示，那么平面向量的运算可以用坐标来表示吗？追问1：向量的加减法可否用坐标进行运算？答案：可以．可以按照以下步骤进行推导：第1步：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a=x1i+y1j，b=x2i+y2j．第2步：根据向量的加法运算律，可得a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）=（x1+x2）i+（y1+y2）j，即a+b=（x1+x2，y1+y2）．同理a-b=（x1-x2，y1-y2）．追问2：向量的数乘运算可以用坐标表示吗？设λ∈R，如何用坐标表示λa？答案：λa=λx1i+y1j=λx1i+λy1j，即λa=(λx1，λy1)． 追问3：给出平面向量的起点和终点坐标，怎样求向量的坐标？试着利用向量运算的坐标表示进行推导．答案：如图所示，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则．即．问题4：两平面向量的平行能否用坐标表示？答案：能．推导步骤如下：第1步：根据已学知识可知，在平面直角坐标系中，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，b≠0．若a∥b，则存在实数λ，使得a=λb；第2步：由向量共线定理，可知x1i+y1j=λ（x2i+y2j）=λx2i+λy2j．于是x1=λx2，y1=λy2．消去λ，得x1y2-x2y1=0．这就是说，向量a，b（b≠0）共线的充要条件是x1y2-x2y1=0．想一想：前面的四个问题推导出了什么结果？（1）回顾上节课的内容，平面向量基本定理是什么？（2）向量能不能像平面坐标系中点一样给出坐标表示？　　利用平面直角坐标系，通过建立标准正交基，可以实现平面向量的坐标表示．（3）平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？（4）平面向量平行能否用坐标表示？平面内两个向量和、差、数乘及共线都拥有自己的坐标运算法则．总结：通过这四个问题的探究，可以发现平面内任意向量都能与有序实数对一一对应，同时向量的坐标运算符合实数的运算规律，我们可以利用它求点的坐标，判断向量共线等问题，从而实现形与数的统一．设计意图： 承接上一节所学的内容，借助平面直角在坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，进而推导出坐标表示平面向量的和差与数乘的运算法则，以及坐标表示平面向量共线的条件．平面向量坐标表示和坐标运算的概括：（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量对应坐标的和与差；（2）实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积；（3）一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标；（4）向量a，b（b≠0）共线的充要条件是x1y2-x2y1=0．【概念巩固】思考:判断正误并说明理由？（1）向量与向量的坐标相同．（）（2）两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．（）（3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关．（）（4）向量（2，4）与向量（-4，-6）反向．（）（5）若a∥b，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则必有．（）分析：判断上述问题的正误需要熟练掌握和运用平面向量的坐标表示、和差数乘运算法则，熟知坐标表示平面向量共线的条件．答案:（1）错误，向量的坐标为点B的坐标减去点A的坐标，向量的坐标为点A的坐标减去点B的坐标；（2）错误，对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样；（3）错误；根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关；（4）正确，因为（-4，-6）=-2（2，4），所以两个向量相反；（5）错误，因为若向量b等与零向量，则不成立．问题5：你能用向量的坐标运算来推导出给定线段的中点坐标吗?答案:能．分步如下：第1步：如图建立直角坐标系，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M是线段AB的中点． 第2步：，，由向量的线性运算可知，第3步：所以中点M的坐标是．可以得出，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M是线段AB的中点坐标（x，y），则此公式为线段AB的中点坐标公式．三、应用举例例1.在平面内，以点O的正东方向为x轴的正向，正北方向为y轴的正向建立平面直角坐标系．质点在平面内作直线运动，先画出下列位移向量在基i，j下的正交分解，再求出下列位移向量的坐标：（1）向量a表示沿东北方向移动了2个单位长度；（2）向量b表示沿北偏西30°方向移动了3个单位长度；（3）向量c表示沿南偏东60°方向移动了4个单位长度．分析：作图画出向量a，b，c，作出以上向量在基i，j下的正交分解，再求坐标．解：第1步：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，c=(x3，y3)，如图作出以上向量在基i，j下的正交分解；第2步：，；，；，． 第3步：因此，，．例2.已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标．分析：运用平面向量和、差、数乘的坐标运算法则直接计算．解：a+b=(2，1)+(-3，4)=(-1，5)，a-b=(2，1)-(-3，4)=(5，-3)，3a+4b=3(2，1)+4(-3，4)=(6，3)+(-12，16)=(-6，19)．例3.已知点A(1，0)，B(0，2)，C(-1，-2)，用向量的方法求的顶点D的坐标．分析：先做图，设点并写出向量坐标，根据图中向量的关系用坐标运算进行表达．解：第1步：设点D的坐标为(x，y)，做图如下，第2步：由，得(0，2)-(1，0)=(-1，-2)-(x，y)，即(-1，2)=(-1-x，-2-y)，所以，-1-x=-1,-2-y=2.解得x=0,y=-4.第3步：所以点D的坐标为(0，-4)．例4.已知点A(2，-4)，B(-1，3)，C(3，4)，且,求点M的坐标．分析：根据一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标，用坐标表示出已知向量，设未知点，再运用平面向量的坐标表示、和差数乘运算法则计算出未知量．解：第1步：根据题意，得=(2-3，-4-4)=(-1，-8)，=(-1-3，3-4)=(-4，-1)．于是=2(-1，-8)+3(-4，-1)=(-2，-16)+(-12，-3)=(-14，-19)第2步：设点M的坐标为(x，y)，则=(x-3，y-4)． 因此，x-3=-14,y-4=-19.解得x=-11,y=-15.所以点M的坐标为(-11，-15)．例5.已知O是坐标原点，=(k，12)，=(4，5)，=(10，k)．当k为何值时，A，B，C三点共线？分析：要使A，B，C三点共线，只需，共线，运用坐标表示的平面向量共线公式即可．解：第1步：依题意，得=(4，5)-(k，12)=(4-k，-7)．=(10，k)-(4，5)=(6，k-5)．第2步：根据向量平行的坐标表示，得(4-k)(k-5)-6×(-7)=0．解得k=-2或k=11．所以当k=-2或k=11时，A，B，C三点共线．设计意图：通过例题，实践操作，学会运用向量的坐标表示和坐标运算，也让学生体会到数形结合的思想方法解决问题的能力的重要性．方法总结：向量的坐标表示的理解及运算的准确性．四、课堂练习1．已知向量a=(2，6)，b=(-1，λ)，若a∥b，则λ=()．A.3B.-3C.D.2．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为()．A.(2，)B.(2，)C.(3，2)D.(1，3)3．已知O(0，0)，A(-1，3)，B(2，-4)，,若点P在y轴上，则实数m 的值为()．A.B.C.D.4．如图所示，已知线段OA的长度为2，与x轴正半轴所成夹角为30°，OB的长度为2，与x轴负半轴所成夹角为60°，C是AB的中点，则的坐标是()．A.B.C.D.参考答案：1．2λ=-6．故选B．2．设点D(m，n)．由题意得(4，3)=2(m，n-2)=(2m，2n-4)，故，解得，即点D(2，)，故选A．3．由题意可得，，所以，又点P在y轴上，所以，得，故选A．4．由题意知，，，故A的坐标为(，1)；同理，，故B的坐标为(，)，根据中点坐标公式可得C的坐标为，故选C．五、课堂小结1.向量的坐标表示是向量的另一种表示形式，也可以称之为向量的代数表示，其背景是平面向量基本定理；2.向量的坐标表示为我们进行向量的运算提供了方便； 3.向量的坐标表示使得我们借助数的运算对图形的几何性质展开研究，体现了数形结合思想方法的应用．六、布置作业教材第99页练习第2，3，5题．