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1、陕西理工学院毕业论文 题目矩阵逆的判定及求逆矩阵方法学生姓名学号所在学院数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学(数教1102)指导教师完成地点陕西理工学院2015年06月12日第2页共17页第1页共15页陕西理工学院毕业论文矩阵逆的判定及求逆矩阵方法(陕理工数学与计算机科学学院数教1102班,陕西汉中)指导教师:[摘要]矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一.本文归纳总结出判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法.[关键词]伴随矩阵;初等矩阵;分块矩阵引言矩阵是高等代数重要组成
2、部分,是许多数学分支研究的重要工具,已成为数学中一个及其重要的应用广泛的概念,可逆矩阵作为一种特殊的矩阵,已成为代数特别是高等代数的一个主要研究对象,在解决矩阵问题中有重要的作用.因此对矩阵逆的研究自然也成为高等代数研究的主要内容之一.随着科学技术的不断发展,矩阵可逆的求解方法不断更新,理论与实际的结合越发密切.所以我们有必要再次学习研究它,进一步丰富发展它.本文在了解了矩阵可逆的定义、判定和性质等内容的基础上,归纳总结出了几种可逆矩阵的求解方法.1基本概念与判定、性质1.1基本概念定义1[1]n
3、级方阵称为可逆的,如果有n级方阵,使得.(1)这里是n级单位矩阵.定义2[1]如果矩阵适合(1),那么就称为的逆矩阵,记为.定义3[1]设是矩阵中元素的代数余子式,矩阵称为的伴随矩阵.定义4[1]矩阵的分块在处理级数较高矩阵时,有时候我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的,就如矩阵是第2页共17页第1页共15页陕西理工学院毕业论文由数组成的一样.特别在运算中,把这些小矩阵当作数一样处理,这就是所谓矩阵的分块.定义5[1]称一下三种变化为矩阵的初等行(列)变换：(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)
4、以一个非零的数k乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列的常数倍加到另一行(列)；矩阵的初等行变换和列变换统称为初等变换.定义6[1]由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.定义7[2]若将分块矩阵的子块看成是普通矩阵的元素,则分块矩阵的下列变换,称为的广义初等变换.(1)互换的两行(列)；(2)用一个非零常数k乘的某行(列)；(3)用一个非零常数k乘的某行(列),并加到另一行(列)上.对的行(列)作上述三种变换,称的广义行(列)变换.1.2可逆矩阵的判定[3]定义法n级方阵称为可
5、逆的,如果有n级方阵,使得.定理1矩阵是可逆的充分必要条件是非退化,且()定理2矩阵是可逆的充分必要条件是可以写成初等矩阵的乘积.定理3矩阵是可逆的充分必要条件是的秩为n.定理4若齐次线性方程组只有零解,则是可逆矩阵.定理5阶矩阵可逆的充要条件是它的特征值都不等于0.即,可逆.定理6可逆的充要条件是非齐次线性方程组总有唯一解.1.3可逆矩阵的性质[1](1)若可逆,则也可逆且；(2)若可逆,则也可逆且；(3)若可逆,则(为任意一个非零的数)也可逆且；(4),其中均为n阶可逆阵.2可逆矩阵的求法2.
6、1定义法利用定义,凑的方法,当条件中有矩阵方程时,通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出(或)的形式,从而可得.例1求的逆矩阵.解因为,所以可逆.设的逆矩阵为,则由,得第14页共16页第8页共16页第1页共15页陕西理工学院毕业论文解得所以.注释：定义法一般适用于求二级,三级可逆方阵的逆矩阵,级数高的可逆矩阵不宜采取这种方法.因为矩阵的级数越大,方程组所含的方程越多,解方程就会越困难.2.2伴随矩阵法由定理1矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化,且()求得.例2求的逆矩阵.解因为,所以可逆.其中,,,同
7、理求得,,,,,.所以.注释:由于要计算量较大,且容易出错.因此用公式法一般适合求2阶和3阶这种阶数较小的矩阵.对于3阶以上的矩阵,工作量大且中途难免会出现计算错误和符号错误.对于求出的逆矩阵是否正确,一般要通过来检验,一旦出现错误,我们必须对每个计算都加以检查,所以在用伴随矩阵求逆时应当注意：(1)中的元素是中元素的代数余子式而不是余子式,计算式切勿遗漏符号；(2)元素位于中的第行第列,而不是第行,第列；(3)这种方法必须在判定该矩阵为可逆矩阵的基础上进行.2.3初等变换法由定理2方阵可逆的充分
8、必要条件是可表示为若干个同阶初等矩阵的乘积可求得.初等行(列)变换:可逆矩阵总可以经过一系列初等行(列)变换化为单位矩阵,如果用一系列初等行(列)变换把可逆矩阵化成单位矩阵,那么同样地用这一系列初等行(列)变换去化单位矩阵就得到.第14页共16页第1页共15页陕西理工学院毕业论文2.3.1.初等行变换具体方法是：欲求的逆矩阵时,首先由作出一个矩阵,即,然后对这个矩阵施以行初等变换只能用行初等变换,将它的左半部的矩阵化为单位矩阵,那么原来右半部的单位矩阵就同时化为.即.例3求的逆矩阵
