四川省蓬溪中学校2023-2024学年高二上学期第一次质量检测数学 Word版含解析.docx

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蓬溪中学高2025届第三学期第一次质量检测数学试题一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位,若为纯虚数,则实数的值为(    )A.3B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件,利用复数乘法进行计算,再利用纯虚数的定义列式计算作答.【详解】依题意,,而为实数,因此,解得,所以实数的值为.故选:C2.已知单位向量,且,则()A.3B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】利用垂直关系的向量表示,结合数量积的运算律求解作答.【详解】单位向量满足,则,即,所以.故选:B3.已知,,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意利用两角差的余弦公式可得,再切化弦运算求解. 【详解】因为,解得,所以.故选:D.4.下列一组数据1,2,3,3,4,5,5,6,6,7的30%分位数为()A.2B.3C.5D.3.5【答案】B【解析】【分析】根据给定条件,利用第p百分位数的定义求解作答.【详解】依题意,,所以所求的30%分位数为.故选:B5.抛掷两枚质地均匀的骰子,设事件“第一枚出现偶数点”,“第二枚出现奇数点”,则下列说法正确的是()A.A与B互斥B.A与B互为对立C.A与B相等D.A与B相互独立【答案】D【解析】【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可.【详解】事件与能同时发生,如第一枚的点数2,第二枚的点数为1,故事件与既不是互斥事件,也不是对立事件,故选项A,B错误;,,,,因为,所以与独立,故选项D正确;事件与不相等,故选项C错误.故选:D.6.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列说法正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则 D.若,则【答案】D【解析】【分析】根据空间中点线面的位置关系,即可结合选项逐一求解.【详解】对于A,若,,则或者或者相交,故A错误,对于B,若,,则或者或者相交,故B错误,对于C,若,,,则或者或者相交,故C错误,对于D,若,,则,又,所以,故D正确,故选:D.7.如图,正方形中,、分别是、的中点,若,则()A.2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量基本定理选择和作为一组基底,表示出,根据列出方程组即可求解.【详解】由已知可得,由图可知,所以,解得,所以, 故选:.8.设正三棱锥的底面的边长为2,侧面与底面所成的二面角的余弦值为,则此三棱锥的体积为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设的中点为,连接,设为等边的中心,连接,由正三棱锥的性质可得平面,为侧面与底面所成的二面角的平面角,从而结合已知可求出高,进而可求出其体积.【详解】设的中点为,连接,设为等边的中心,连接,则平面,因为三棱锥为正三棱锥,所以,所以,所以为侧面与底面所成的二面角的平面角,因为等边的边长为2,所以,因为侧面与底面所成的二面角的余弦值为,所以,解得,所以,所以三棱锥的体积为,故选:D .二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知事件满足,,则下列结论正确是(    )A.B.如果,那么C.如果与互斥,那么D.如果与相互独立,那么【答案】BCD【解析】【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐个分析判断即可详解】对于选项A,,故选项A错误;对于选项B,如果,那么,选项B正确;对于选项C,如果与互斥,那么,所以选项C正确;对于选项D,如果与相互独立,那么,所以选项D正确.故选:BCD10.已知复数为虚数单位,下列说法正确的是()A.在复平面内对应的点位于第二象限B.若向量分别对应的复数为,则向量对应的复数为C.若,则D.若复数(为虚数单位),且,则的最大值为4 【答案】ACD【解析】【分析】对于A,求出,根据复数的坐标可得A错误;对于B,根据复数的向量表示可得B错误;对于C,根据复数的运算以及复数相等的条件可得C正确;对于D,利用复数模与圆轨迹方程得关系即可判断D正确.【详解】对于A,在复平面内对应的点位于第二象限,故A正确;对于B,因为向量分别对应的复数为,所以,对应的复数为,故B错误.对于C,由得,得,得,得,,所以,故C正确;对于D,,则,表示的轨迹为圆,而,表示圆上的点到定点的距离,因为圆心到定点的距离为,则圆上的点到定点的距离的最大值为,故D正确.故选:ACD.11.将函数的图象沿轴向右平移个单位,再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的3倍(纵坐标不变),得到函数的图象,则下列判断正确的是()A.为偶函数B.为奇函数C.在单调递减D.【答案】AD【解析】【分析】先根据三角函数图象变换规律求出的解析式,然后逐个分析判断即可【详解】函数的图象沿轴向右平移个单位,得,再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的3倍(纵坐标不变),得, 对于A,,因为,所以为偶函数,所以A正确,对于B,,因为,所以不是奇函数,所以B错误,对于C,由,得,因为在上不单调性,所以在上不单调,所以C错误,对于D,的周期为,因为,,,,,,所以,所以,所以D正确,故选:AD12.如图,在棱长为的正方体中,分别为棱,的中点,为面对角线上的一个动点,则() A.三棱锥的体积为定值B.线段上存在点,使平面C.线段上存在点,使平面平面D.设直线与平面所成角为,则的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项,利用等体积法判断;对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系,利用空间向量求解【详解】易得平面平面,所以到平面的距离为定值,又为定值,所以三棱锥即三棱锥的体积为定值,故A正确. 对于B,如图所示,以为坐标原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,所以,,,设(),则所以,平面即解之得当为线段上靠近的四等分点时,平面.故B正确对于C,设平面的法向量则,取得设平面的法向量,则取,得,平面平面 设,即,解得,,不合题意线段上不存在点,使平面//平面,故C错误.对于D,平面的法向量为则因为所以所以的最大值为.故D正确.故选:ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知一个圆锥的底面半径为3,高为4,则该圆锥的侧面积为________.【答案】【解析】【分析】求出圆锥的母线长即可得侧面积.【详解】由题意底面半径,高为,则母线长为,所以侧面积为.故答案为:.14.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为,,则甲、乙两人在罚球线各投球一次,恰好命中一次的概率______.【答案】##【解析】【分析】利用题意可知,两人恰好命中一次包括“甲投中乙未投中”和“乙投中甲未投中”两种情况,由互斥事件的加法公式即可求得结果. 【详解】根据题意可设事件“甲在罚球线投球命中”,“乙在罚球线投球命中”;即;则两人各投一次,恰好命中一次的概率.故答案为:15.在△ABC中,,,,∠BAC的角平分线交BC于D,则________.【答案】【解析】【分析】根据所给条件,利用余弦定理及三角形面积公式求解.【详解】如图所示,记,,,由余弦定理可得,,即,因为,解得,由可得,,解得.故答案为:16.已知正边长为1,将绕旋转至,则三棱锥的外接球表面积为___________.【答案】##【解析】【分析】根据给定条件,结合面面垂直的性质、球的截面小圆性质确定球心位置,求出球半径即可作答.【详解】在三棱锥中,取中点G,连接,则,, 平面,,如图,令正与正的中心为,过分别作平面与平面的垂线,则它们必过四面体外接球的球心,由,得,正方形中,,则,因此四面体的外接球半径有,所以三棱锥的外接球表面积.故答案为:四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.箱子里有3双不同的手套,分别用表示六只手套,从中随机拿出2只,记事件拿出的手套不能配对,事件拿出的都是同一只手上的手套,(1)写出该试验的样本空间;(2)说出事件、事件的关系及A,B发生的概率.【答案】(1)答案见解析;(2),,.【解析】【分析】(1)根据给定条件,列举出所有可能的结果作答.(2)列举出事件、事件的所有结果,再利用古典概率计算作答.【小问1详解】依题意,样本空间为.【小问2详解】 事件,事件,显然,所以,事件发生的概率,事件发生的概率.18.已知函数.(1)若,求的周期、单调增区间、对称中心;(2)若在上的最小值为2,求实数m的取值范围.【答案】(1),,;(2).【解析】【分析】(1)利用二倍角公式、辅助角公式化简函数,再借助正弦函数性质求解作答.(2)求出相位所在区间,再利用正弦函数单调性结合最小值求出实数m的取值范围作答.【小问1详解】依题意,,所以函数的周期为;由,得,所以函数的递增区间为;由,得,所以函数的对称中心为.【小问2详解】由(1)知,当时,得,因为在上的最小值为2,即有,则的最小值为,而,正弦函数在上单调递增,在单调递减,且,因此,解得,所以实数m的取值范围是. 19.如图,多面体中,四边形为平行四边形,,,四边形为梯形,,,,,平面(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)由线面平行的判定定理可得平面,平面,再由面面平行的判定定理和性质定理可得答案.(2)作于O,结合平面,证得平面,利用线面所成角的定义求出其正弦值作答.【小问1详解】由四边形是平行四边形,得,而平面,平面,则平面,由,平面,平面,得平面,又,平面,因此平面平面,而平面,所以平面.【小问2详解】由平面,平面,得,连接,则,在平面内过作于,连接,显然,而平面,于是平面,则为直线与平面所成的角, 又,则,因此,所以直线与平面所成角的正弦值为.20.某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩(单位:分)进行分析,随机抽取100名学生,将分数按照,,,,,分成6组,制成了如图所示的频率分布直方图:请完成以下问题:(1)估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数;(2)为了进一步了解学生对数学学习的情况,由频率分布直方图,成绩在和的两组中,用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生,①再从这名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率.②观察样本的指标值,计算得中样本的均值为55,方差为26,中样本的均值为85,方差为11,计算的方差;【答案】(1)分;(2)①;②233. 【解析】【分析】(1)利用给定的频率分布直方图结合百分位数的意义,求出成绩的第百分位数作答.(2)①利用分层抽样求出成绩在、内的人数,再利用列举法求出概率;②利用方差的定义,结合分层抽样的方差计算方法求解作答.【小问1详解】由频率分布直方图知,样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为,在分以下所占比例为,因此,第百分位数一定位于内,由,可以估计样本数据的第百分位数约为分,据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数约为分.【小问2详解】①由频率分布直方图,得分数段的人数为,分数段的人数为,用分层随机抽样的方法抽取名学生,则需在分数段内抽人,分别记为,需在分数段内抽人,分别记为,,,设“从样本中任取人,至少有人在分数段内”为事件,则样本空间,共有个样本点,而的对立事件,包含个样本点,于是,则,所以抽取的这名学生至少有人在内的概率为.②依题意,由①知,内的样本均值为,在内的分数为,在内的分数为,则,,因此的方差为 .21.如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,.(1)证明:平面;(2)若,求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析.(2)【解析】【分析】(1)先证明,然后利用线面垂直的判定定理证明即可.(2)利用等体积法即即可求解.【小问1详解】解:∵平面平面,平面平面于,且,∴,平面,∴,又,∴,又,∴平面.【小问2详解】解:由(1)得,,又,,,∴,,∴,又平面平面,平面平面于,∴点到平面的距离即为点到直线的距离, 故点到平面的距离为,则,设点到平面的距离为,∵∴,即,解得:,即点到平面的距离为.22.在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若,请完成以下问题:(1)求角B的大小;(2)若为锐角三角形,,求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据给定条件,利用正弦定理边化角,再利用和角的正弦公式化简即可作答.(2)利用正弦定理把表示为角的函数,再利用三角函数的性质求解作答.【小问1详解】在中,由及正弦定理得:,,整理得,而,,于是,所以.【小问2详解】在中,,,由正弦定理,得,同理,因此 由锐角,得,解得,则,,于是在上单调递增,则所以的取值范围为.

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