云南省大理市大理白族自治州民族中学2023-2024学年高一上学期开学数学Word版含解析.docx

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大理州民族中学2023—2024学年高一上学期开学见面考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如果，那么下列运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.【详解】解：因为，所以，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确.故选：D.2.如图，直线∥，直线分别交，于点，，的平分线交于点，，则（）A.70°B.110°C.120°D.140°【答案】B【解析】【分析】由平行线的性质，角平分线的性质结合已知条件直接求解【详解】因为直线∥，直线分别交，于点，，所以，，因为，所以，因为的平分线交于点， 所以，所以，故选：B3.已知m，n是方程x2＋5x＋3＝0的两根，则m＋n的值为（）A.－2B.2C.±2D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】根据韦达定理得到，，且，，利用，代入原式可得结果.【详解】因为m，n是方程x2＋5x＋3＝0的两根，所以，，所以，，所以m＋n.故选：A.【点睛】本题考查了韦达定理，属于基础题.4.某药店在今年6月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元.已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是元，则购进口罩的单价是元，利用数量总价单价，结合购进两种口罩的只数相同，即可得出关于的分式方程．【详解】解：设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是元，则购进口罩的单价是 元，依题意可得.故选：B．5.已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，设正多边形的边长为，则其边心距为，可得，由此可判断出是等边三角形，解决问题.【详解】由题意，设正多边形的边长为，则其边心距为，因为，，所以，所以，又，所以是等边三角形，所以，则，所以此正多边形为正6边形.故选：C6.在对一组样本数据进行分析时，小凡列出了方差的计算公式：，根据公式不能得到的是（）A.众数是6B.平均数是8C.方差是6D.中位数是8【答案】C【解析】 【分析】由公式得到样本数据为，即可得样本的数据特征，判断各项正误.【详解】由公式知：样本数据为，所以众数为6，平均数为，方差为，中位数为8.故选：C7.某商场将彩电的售价先按进价提高，然后“八折优惠”，结果每台彩电利润为360元，那么彩电的进价是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据折扣的定义，结合利润公式进行求解即可.【详解】设进价为元，得，解得，故选：C8.已知，则（）A.-22B.-1C.7D.11【答案】B【解析】【分析】解方程求，由此可求.【详解】因为，所以，又，所以，所以或，当时，，故，当时，，故，故选：B.9.如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴于点，点是轴上的一个动点，则的面积为（） A.1B.2C.4D.无法确定【答案】A【解析】【分析】表示出点的横纵坐标，利用面积公式可求答案.【详解】设，则，因为轴于点，所以，的面积为，故选：A.10.若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分两种情况讨论，结合判别式求解即可.【详解】当，即时，不等式为，对一切恒成立．当时，则，即，解得．综上，实数的取值范围是．故选：C11.在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】先根据已知直线的倾斜角求出所求直线的倾斜角，进一步求出斜率，再根据平移法则求出直线的函数表达式.【详解】因为直线的倾斜角为，所以将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后得到直线的倾斜角为，此时直线的斜率为，直线方程为，所以将函数向上平移1个单位长度所得直线函数表达式为.故选：D12.如图，平行四边形的面积为，，与交于点，分别过点，作，的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（）A.1B.C.D.3【答案】A【解析】【分析】根据题设条件我们会较易发现四边形为菱形且点是菱形的中心，那么无论点P在菱形哪条边，的最小值都一样,假设点P在其中具体一边上即可针对性处理.【详解】因为平行四边形中，与交于点,所以平行四边形为矩形，,又因为,所以四边形为菱形，又点是的中点，所以点是菱形的中心，故点到各边的距离的最小值一致，不妨设点P在上，则当时取得最小值,过D作， 可得此时，又为中点，，矩形中面积为，，可知,继而在直角三角形中由等积法可知，取得最小值时，故选：A.二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分．13.计算：______________.【答案】##【解析】【分析】根据特殊角的正切值，结合二次根式的性质、负指数幂公式进行求解即可.【详解】，故答案为：14.引发春季传染病的某种病毒的直径是0.000000025，将0.000000025用科学记数法表示为______________；【答案】【解析】【分析】直接根据科学记数法即可得出答案.【详解】解：0.000000025.故答案为：.15.因式分解：__________. 【答案】【解析】【分析】根据因式分解法则，进行分解.【详解】解：，故答案为：16.关于的一元二次方程的两个正实数根分别为，且，则的值是__________.【答案】【解析】【分析】由题得到韦达定理，结合已知得，解方程，再检验即得解.【详解】由题得，（）所以，且，所以.所以，整理得，当时，不满足，所以舍去当时，.满足（）.故答案为：517.现将背面完全相同，正面分别标有数0，1，3，5的4张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数标记为m，再从剩下的3张卡片中任取一张，将该卡片上的数记为n，则数字m，n都为奇数的概率为______________；【答案】##0.5【解析】【分析】用列举法，结合概率的计算公式直接求解即可. 【详解】用符号表示两次的结果，可能结果如下：共12种，其中数字m，n都为奇数的有6种情况，所以字m，n都为奇数的概率为，故答案为：18.设表示中最大的一个，例如，则.方程的解是__________.【答案】或3【解析】【分析】根据最大值函数计算检验即可得解.【详解】因为，故或者当，解得，或者-1，经检验符合要求；当，解得，或者1，经检验符合要求，所以或者3故答案为：-1或3.19.如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，，点为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到处，则小虫爬行的最短路程等于______．【答案】【解析】【分析】利用三棱柱平面展开图可3种情况，画出图形利用平面上两点间距离最短，可计算比较得解. 【详解】如图1，将三棱柱的侧面和侧面沿展开在同一平面内，连接，是中点，和是等边三角形，，，在中，由勾股定理得：.如图2，把底面和侧面沿展开在同一平面内，连接，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，，在中，，，，，，在中，由勾股定理可得，.如图3，连接,交于点，则，，在中，，，.，小虫爬行的最短路程为.故答案为：.20.观察下列关于自然数的等式：（1）①（2）② （3）③根据上述规律，写出你猜想的第个等式（用含的式子表示）：______．【答案】【解析】【分析】观察规律可得答案.【详解】通过观察，等号左端的被减数是第n个式子即为n，减数的分子是，其分母是，等号左端是第n个式子即为乘以分子为1分母，所以第个等式为.故答案为：.三、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.（1）计算：.（2）先化简，再求值：，其中.【答案】（1）；（2）；.【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算及特殊角的函数值计算即可；（2）对式子变形结合因式分解及完全平方和化简式子，代入即可计算.【详解】（1）（2）原式，当时，原式.22.李叔叔批发甲、乙两种蔬菜到菜市场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：品名甲蔬菜乙蔬菜批发价/（元）4.84零售价/（元）7.25.6 （1）若他批发甲、乙两种蔬菜共花180元，求批发甲、乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）（2）若他批发甲、乙两种蔬菜共花元，设批发甲种蔬菜，求与的函数关系式；（3）在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于176元，需要至少批发甲种蔬菜多少千克？【答案】（1）批发甲种蔬菜25千克，批发乙种蔬菜15千克（2）（3）60千克【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组即可求得结果；（2）由题意知甲种蔬菜，则乙种蔬菜，根据单价即可求得与的函数关系式；（3）由（2）可得卖完蔬菜后的利润表达式，解不等式即可求得至少批发甲种蔬菜60千克.【小问1详解】设批发甲种蔬菜千克，批发乙种蔬菜千克，根据题意得；解得即批发甲种蔬菜25千克，批发乙种蔬菜15千克；【小问2详解】根据题意得批发甲种蔬菜，则乙种蔬菜所以可得，整理得；所以与的函数关系式为；【小问3详解】设全部卖完蔬菜后利润为元，根据题意得，，整理得，要保证利润不低于176元，即， 解得，所以至少批发甲种蔬菜60千克.23.如图，在中，，以为直径的与交于点，点是的中点，连接，．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长；（3）在（2）的条件下，点是上一动点，求的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）作出辅助线，由直径得到，进而得到，通过角度之间的关系得到，从而证明出结论；（2）在（1）基础上结合相似知识得到，由勾股定理列出方程，求出，得到；（3）变形得到取最大值时，也取最大值，进而得到此时取最大值，求出最值.【小问1详解】证明：连接，如图所示， ∵为的直径，∴，∴，∵点为的中点，∴，∴，∵．∴．∵，∴，∴，∵是的半径，∴与相切；【小问2详解】由（1）知，，∵是中点，∴．∴，∵，∴，又∵在中，，即，∴（负值已舍去），∴ 【小问3详解】过点作⊥于点，设中边上的高为，则，由（2）可知，又∵是直径，∴，∴，∴，当取最大值时，也取最大值，又∵，当取最大值时，取最大值，此时边高为取最大值为，∴．∴，∴，∴．综上所述：的最大值为．（用函数或均值不等式处理均可）24.如图，抛物线与x轴交于A､B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点A的坐标为（-2，0），. （1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图1，点D在直线BC下方的抛物线上运动（不含端点B､C），连接DC､DB，当四边形ABDC面积最大时，求出面积最大值和点D的坐标；（3）如图2，将（1）中的抛物线向右平移，当它恰好经过原点时，设原抛物线与平移后的抛物线交于点E，连接BE.点M为原抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，以B､E､M､N为顶点的四边形是菱形时，直接写出点N的坐标.【答案】（1）；（2）面积最大值，坐标为（4，-6）；（3），，，，.【解析】【分析】（1）根据已知求出两点坐标，代入解析式可求解；（2）当四边形ABDC面积最大时，转化为的面积最大，表示出面积，再利用二次函数的性质求解；（3）画出符合题意的图形，利用菱形的性质进行求解.【详解】（1）.（2）解：（1）由题意可知，∵，∴，故点C为（0，-4），点B为（8，0）将点A､B､C坐标分别代入，得，解得∴抛物线的解析式为如图，过点D作轴交BC于点G 设直线BC的解析式为，将点B､C的坐标代入上式，得，解得∴直线BC的解析式为.设点D的坐标为，则点G的坐标为，∴，∴，∴，∵-1<0，∴开口向下∴当时，面积最大，此时，点D的坐标为（4，-6）