天津市南仓中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学 Word版含解析.docx

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天津市南仓中学2023至2024学年度高二年级第一学期教学质量过程性检测数学试卷本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷两部分，共120分，考试用时100钟.第I卷1页，第II卷1页答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共9小题，共36分.一、选择题（每小题4分，共36分）1.已知一直线经过两，，且倾斜角为，则的值为（　　）A.－6B.－4C.0D.6【答案】C【解析】【分析】由两点坐标求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值列式求得的值．【详解】直线经过两，，．又直线的倾斜角为，斜率一定存在，则直线的斜率为，即．故选：C．2.若直线过两点，则直线的一般式方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根据已知条件利用直线方程的截距式求解即可【详解】因为直线过两点，所以直线的方程为，即，故选：A3.如图，已知直线PM、QP、QM的斜率分别为、、，则、、的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先判断三条直线的倾斜角，进而根据倾斜角与斜率的关系即可得出结论..【详解】由于直线PM的倾斜角为钝角，QP、QM的倾斜角为锐角，当倾斜角为锐角时，斜率为正，即，当倾斜角为钝角时，斜率为负，即，又因为倾斜角为时，倾斜角越大，斜率越大，即；所以.故选：B.4.两平行直线与的距离为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据平行线距离公式进行求解即可.【详解】由， 所以这两条平行线的距离为：，故选：B5.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量基本定理进行求解.【详解】因为，点N为BC中点，所以，故.故选：B6.过点且垂直于直线的直线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设垂直于直线的直线为，代入点得的值，即得解.【详解】设垂直于直线的直线为， 代入点得，则所求直线为.故选：A.7.点关于直线的对称点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得.所以点的坐标为故选：A.8.不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】直线方程即，一定经过和的交点，联立方程组可求定点的坐标．【详解】直线即，根据的任意性可得，解得，不论取什么实数时，直线都经过一个定点．故选：B9.已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则 的斜率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作出图形，数形结合可得出直线的斜率的取值范围.【详解】过点作，垂足为点，如图所示：设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大，此时；当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时.综上所述，直线的斜率的取值范围是.故选：D.第II卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上.2．本卷共11小题共84分.二、填空题（每小题4分，共24分）10.已知，若点P是直线上的任意一点，则的最小值为________．【答案】##【解析】 【分析】由题意可知的最小值就是点到直线的距离，利用点到直的距离公式可求得结果.【详解】由题意可知的最小值就是点到直线的距离，因为到直线的距离，所以的最小值为.故答案为：11.过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为_________.【答案】或【解析】【分析】分截距为和不为两种情况讨论即可得解.【详解】由题知，若在轴、轴上截距均为，即直线过原点，又过，则直线方程为；若截距不为，设在轴、轴上的截距为，则直线方程为，又直线过点，则，解得，所以此时直线方程为.故答案：或12.已知向量，若，则_________．【答案】【解析】【分析】设，依题意可得，再根据向量夹角公式即可求解.【详解】设向量， ，，设与的夹角为，，，.故答案为：.13.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是__．【答案】【解析】【分析】根据投影向量结合向量的坐标运算求解.【详解】由题意可得：，所以向量在向量上的投影向量为．故答案为：.14.已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为________________.【答案】0或5【解析】【分析】分类讨论直线斜率不存在与存在两种情况，结合直线垂直的性质即可得解.【详解】因为直线经过点，且，所以的斜率存在，而经过点，则其斜率可能不存在，当的斜率不存在时，，即，此时的斜率为0，则，满足题意；当的斜率存在时，，即，此时直线的斜率均存在，由得，即，解得； 综上，a的值为0或5.故答案为：0或5.15.如图，平行六面体中，与相交于M，设、、，则（1）______（用、、表示）；（2）若、、三向量是两两成角的单位向量，则______.【答案】①.②.【解析】【分析】结合图形，利用空间向量的线性表示与运算，进行运算即可，再根据计算可得．【详解】解：平行六面体中，、、，，因为、、三向量是两两成角的单位向量，所以，，所以所以故答案为：；；【点睛】本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，属于中档题．三、解答题 16.已知空间向量，，．（1）若，求；（2）若与相互垂直，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.【小问1详解】，，，即，且，，解得；【小问2详解】，，又，解得．17.已知直线和直线.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）0或2（2）【解析】【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解；（2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证.【小问1详解】若，则 ，解得或2；【小问2详解】若，则，解得或1.时，，满足，时，，此时与重合，所以.18.已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点.（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求AB边的高所在直线方程.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程；（2）由中点坐标公式求得中点坐标，再由两点间距离公式计算可得；（3）先求直线AB的斜率，由垂直关系可得AB边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可.【小问1详解】法一：由两点式写方程得，即；法二：直线的斜率为，直线的方程为，即；【小问2详解】设的坐标为，则由中点坐标公式可得，故，所以； 【小问3详解】直线AB的斜率为，所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为，故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：.19.如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，，（1）求点P到直线EF的距离（2）求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；（3）求点P到平面DEF的距离．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，先求出在上的投影长，再求点P到直线EF的距离．（2）求平面DEF的一个法向量、，应用向量法求线面角的正弦值.（3）由及（2）平面DEF的法向量，应用向量法求点面距离.【小问1详解】如图，以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，得，因为，，在上投影长为，所以点P到直线EF的距离为.【小问2详解】由（1）知，设平面DEF的一个法向量为，则，取，则，设PA与平面DEF所成的角为θ，则，故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.小问3详解】由（1）知，，由（2）知，，所以点P到平面DEF的距离为.20.如图，在四棱锥中，平面，，，且，，. （1）取的中点N，求证：平面；（2）求直线与所成角的余弦值.（3）在线段上，是否存在一点M，使得平面与平面所成锐二面角的平面角为?如果存在，求出与平面所成角的大小；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，【解析】【分析】取的中点，连接，则，以A为原点，AE所在的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系.（1）计算，利用向量法求证即可；（2）利用向量的夹角公式计算异面直线所成的角；（3）假设存在点M符合题意，根据二面角、线面角的向量求法计算即可.【小问1详解】取的中点，连接，则，，所以四边形为矩形，所以，以A为原点，所在的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，取中点，则，，所以，故，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】由（1）知，，，.故直线AC与PD所成角的余弦值为.【小问3详解】假设存在，且，则点为，所以，设平面的法向量是，，令，，（易知t=1不合题意）又是平面的一个法向量，， 解得(舍去)，则．此时平面的一个法向量可取，，设与平面所成的角为，则，由知，.