四川省成都市成都外国语学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学 Word版含解析.docx

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成都外国语学校2023-2024学年度高一上期12月月考数学试卷注意事项:1.本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.2.本堂考试120分钟,满分150分;3.答题前,考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上,并使用2B铅笔填涂.4.考试结束后,将答题卡交回.第I卷选择题部分,共60分一、单选题:本题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则(  ).A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】结合集合的并集运算即可.【详解】结合题意:,故选:C.2.“”是“”的(  )条件A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解一元二次方程,再根据充分必要条件的推理得出结果.【详解】根据题意,显然当,可得成立,所以充分性满足;当时,可得或,所以必要性不满足;即“”是“”的充分不必要条件.故选:A. 3.函数的零点所在区间是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分析函数的单调性,结合零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数、均为上的增函数,故函数为上的增函数,因为,,由零点存在定理可知,函数的零点所在区间是.故选:B.4.设奇函数的定义域为,若当时,的图象如图,则不等式的解集是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】结合函数的图像及奇偶性即可解不等式.【详解】根据图像,当时,的解为,因为函数为奇函数,所以当时,若,即,则所以,解得,综合得不等式的解集是.故选:C.5.设函数(且),若,则() A.3B.C.D.【答案】A【解析】分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为(且),所以,所以,解得或(舍去).故选:A6.已知,则的大小关系为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】化简,通过讨论函数和的单调性和取值范围即可得出的大小关系.【详解】解:由题意,,在中,函数单调递增,且,∴,在中,函数单调递增,且当时,,∴,∴,故选:A.7.在我们的日常生活中,经常会发现一个有趣的现象:以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字.这就是著名的本福特定律,也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”,意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中,一个数的首位数字是(,,,)的概率为.以此判断,一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为() (参考数据:,)A.2.9B.3.2C.3.8D.3.9【答案】C【解析】【分析】根据所给定义及对数的运算性质计算可得.【详解】依题意一个数的首位数字是的概率为,一个数的首位数字是的概率为,所求的比为.故选:C8.已知函数定义域为,且图象关于对称,当时,单调递减,则关于的不等式的解集是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析可知函数为偶函数,根据偶函数的定义域关于原点对称可求出实数的值,根据函数的单调性、偶函数的性质,结合可得出关于实数的不等式组,由此可解得的取值范围.【详解】因为函数的图象关于对称,令,则,即,即,所以,,故函数是定义在上的偶函数,则,解得, 所以,函数是定义在上的偶函数,由题意可知,函数在上单调递减,由可得,所以,,解得.因此,不等式的解集为.故选:A.二、多选题:本题共4个小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知实数,则下列说法正确的有()A.若,则B.若,,则C.若,则D.若,则【答案】ABC【解析】【分析】利用不等式性质及特殊值逐项分析即可.【详解】选项A:因为,所以,故A正确;选项B:因为,,所以,故B正确;选项C:因为,所以,所以,故C正确;选项D:,取,故D错误;故选:ABC. 10.下列说法正确的有()A.命题“,”的否定为“,”B.若,,则C.若幂函数在区间上是减函数,则或D.方程有一个正实根,一个负实根,则.【答案】AD【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系可判定A;举反例可判定B;根据幂函数定义和性质可判定C;根据一元二次方程的性质可判定D.【详解】对于A选项,根据全称量词命题的否定的知识可知,命题“,”的否定为“,”,A选项正确;对于B选项,若,,如,,,,则,B选项错误;对于C选项,函数是幂函数,所以,解得,所以C选项错误;对于D选项,设,则有两个零点,且两个零点一正一负,则,所以D选项正确故选:AD.11.已知定义在上的函数的图象是连续不断的,且满足以下条件:①,;②,,当时,;③.则下列选项成立的是()A.B.若,则C.若,则D.,,使得【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件探求出函数的奇偶性和在 的单调性,再逐一分析各选项的条件,计算判断作答.【详解】由,得:函数是上的偶函数,由,,得:在上单调递增,对于A,根据函数在上单调递增,可得,故A错误;对于B,根据函数是上的偶函数,且在上单调递增,在上单调递减,则,又函数的图象是连续不断的,则有,解得,故B正确;对于C,由,则或,又,解得或,即,故C错误;对于D,因上的偶函数的图象连续不断,且在上单调递增,因此,,,取实数,使得,则,,故D正确.故选:BD.12.直线与函数的图象相交于四个不同的点,若从小到大交点横坐标依次记为,,,,则下列结论正确的是()A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】画出函数的图象,利用数形结合思想,结合二次函数和对数函数的性质进行求解即可.【详解】函数的图象如下图所示: 当时,,此时或;当时,此时函数单调递减,当时,此时函数单调递增,此时或,或,直线与函数有四个不同的点,必有,此时,其中,且,因此有,,显然,因此,所以选项A不正确,选项B、C正确;因为,,结合图象知:,因此选项D正确,故选:BCD【点睛】关键点睛:利用数形结合思想,得到,,,的取值范围是解题的关键.第II卷非选择题部分,共90分三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数(且),则函数恒过定点_____.【答案】【解析】【分析】根据对数函数的知识求得定点坐标.【详解】由于,所以函数恒过定点. 故选:14.函数的递减区间为____________.【答案】【解析】【分析】由复合函数的单调性只需求出的单调递增区间,且要满足,从而求出答案.【详解】因为在上单调递减,由复合函数的单调性可知,的递减区间为的单调递增区间,且要满足,解得或,其中在上单调递增,故的递减区间为.故答案为:15.如果关于的不等式的解集为,其中常数,则的最小值是______.【答案】【解析】【分析】根据不等式与对应方程的关系,利用根与系数的关系和基本不等式即可求解.【详解】不等式的解集为,其中常数,所以是方程的实数根,时,,所以,所以,当且仅当,即时取等号, 故的最小值是故答案为:16.定义在上的函数满足,且当时,,,对,使得,则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】求出在上的值域,利用得到在上的值域,再求出在上的值域,根据题意得到两值域的包含关系,从而求出a的取值范围.【详解】当时,,由于为对称轴为开口向下的二次函数,,由对勾函数的性质可知,函数在上单调递增,可得在上单调递减,在上单调递增,,在上的值域为,在上的值域为,在上的值域为,,故当,在上的值域为,当时,为增函数,在上的值域为, ,解得,故的范围是;当时,为单调递减函数,在上的值域为,,解得故的范围是,综上可知故的范围是.四、解答题:本题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知集合,.(1)当时,求;(2)若,求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)代入,求解集合,,按照交集定义直接求解即可;(2)求解集合,由并集为全集得出集合的范围,从而求出的范围.【小问1详解】解:由得或.所以.当时,.所以.【小问2详解】由题意知].又,因为, 所以.所以.所以实数的取值范围是.18.计算(1)(2)已知求【答案】(1)10+(2)【解析】【分析】(1)直接利用指数幂的运算和对数的运算化简求值;(2)先求出,再求出即得解.【小问1详解】解:原式===10+.【小问2详解】解:..又..19.已知函数.(1)求的定义域;(2)判断的奇偶性并予以证明;(3)求不等式的解集. 【答案】(1)(2)奇函数,证明见解析(3)【解析】【分析】(1)根据对数函数的性质进行求解即可;(2)根据函数奇偶性的定义进行判断和证明;(3)根据对数函数的单调性进行求解.【小问1详解】要使函数有意义,则,解得,故所求函数的定义域为;【小问2详解】证明:由(1)知的定义域为,设,则,且,故为奇函数;【小问3详解】因为,所以,即可得,解得,又,所以,所以不等式的解集是.20.科学实验中,实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶,想测试染料的扩散效果,染料在水桶中扩散的速度是先快后慢,1秒后染料扩散的体积是,2秒后染料扩散的体积是,染料扩散的体积y与时间x(单位:秒)的关系有两种函数模型可供选择:①,②,其中m,b均为常数.(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式; (2)若染料扩散的体积达到,至少需要多少秒.【答案】(1)选,(2)至少需4秒【解析】【分析】(1)根据两种函数模型的特点和题中染料实际扩散的速度选择模型,代入数据即可求出模型的解析式;(2)根据题干条件,列出不等式,解之即可求解.【小问1详解】因为函数中,随的增长而增长,且增长的速度也越来越快,二函数中,随的增长而增长,且增长的速度也越来越慢,根据染料扩散的速度是先快后慢,所以选第二个模型更合适,即,由题意可得:,解得:,所以该模型的解析式为:,【小问2详解】由(1)知:,由题意知:,也即,则有,∴,∴,∴至少需要4秒.21.已知函数的定义域为,且对一切都有,当时,有;(1)求的值;(2)判断的单调性并证明;(3)若,解不等式;【答案】(1)f(1)=0;(2)在(0,+∞)上是增函数,证明见详解;(3)【解析】 【分析】(1)利用赋值法即可求的值;(2)任取∈(0,+∞),且,利用条件可得,进而可得单调性;(3)结合函数单调性将不等式进行转化即可得到结论.【详解】解:令x=y>0,则f(1)=f(x)−f(x)=0,所以f(1)=0;(2)任取∈(0,+∞),且,则,因为,所以,则,所以即,所以在(0,+∞)上是增函数;(3)因为,所以,所以,由,得,所以,解得所以原不等式的解为.【点睛】本题主要考查抽象函数的应用,利用赋值法是解决抽象函数的关键,是中档题.22.已知函数的图象过点,.(1)求函数的解析式;(2)若函数在区间上有零点,求整数k的值;(3)设,若对于任意,都有,求m的取值范围.【答案】(1);(2)的取值为2或3;(3). 【解析】【分析】(1)根据题意,得到,求得的值,即可求解;(2)由(1)可得,得到,设,根据题意转化为函数在上有零点,列出不等式组,即可求解;(3)求得的最大值,得出,得到,设,结合单调性和最值,即可求解.【详解】(1)函数的图像过点,所以,解得,所以函数的解析式为.(2)由(1)可知,,令,得,设,则函数在区间上有零点,等价于函数在上有零点,所以,解得,因为,所以的取值为2或3.(3)因为且,所以且,因为,所以的最大值可能是或,因为所以,只需,即,设,上单调递增, 又,∴,即,所以,所以m的取值范围是.【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法:1、分离参数法:一般命题的情境为给出区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为从中分离出参数,构造新的函数,求得新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,从而确定参数的取值范围;

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