重庆市清华中学2022届高三上学期10月月考数学 Word版含解析.docx

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重庆清华中学高2022届高三上期十月月考数学试题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.下列命题中是假命题的是(　　)A.∃x∈R，B.∃x∈R，cosx＝1C.∀x∈R，>0D.∀x∈R，>0【答案】C【解析】【详解】；；；，所以假命题是C2.已知是关于x的方程的根，则实数（）A.B.C.2D.4【答案】B【解析】【分析】依题意知方程的根互为共轭复数，结合韦达定理可求得结果.【详解】因为是关于x的方程的根，则另一根为由韦达定理得，所以故选：B3.已知集合，则中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】求得集合的元素，由此求得的元素，从而确定正确选项.【详解】依题意，其中满足的有，所以，有个元素.故选：B 4.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先将原函数的解析式化简，可判断原函数的奇函数，排除D选项，再判断原函数在及上的正负即可确定答案.【详解】因为，所以，即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D，又因为，当且仅当时取等号，所以，当时，，当时，，所以，当时，，当时，，故排除A、B，故选：C．【点睛】根据函数的解析式选择函数的图象时，可从选项出发，观察函数图象之间的异同，结合函数的性质判断即可，其一般方法如下：（1）先确定函数的定义域； （2）确定函数的奇偶性，根据函数图象的对称性；（3）确定某些特殊点的函数值的正负，或确定局部区间上函数值的正负;（4）确定局部区间上的单调性.5.在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为，个感染者在每个传染期会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗(称为接种率)，那么个感染者新的传染人数为．已知新冠病毒在某地的基本传染数为了使个感染者传染人数不超过，该地疫苗的接种率至少为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意列不等式，即可求出结果.【详解】由题意可得：故选：C.6.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的坐标表示写出向量，利用平面向量的夹角公式，即可计算得解．详解】解：由于，，则：，，，可得．故选：C． 7.已知函数，则关于的不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先求出函数的导函数，得到函数的单调区间，从而得到函数的最大值，则不等式可转化为，结合函数图象即可得解；【详解】解：由题可得，，令（），则，所以在上单调递减，注意到，所以当时，，即，单调递增；当时，，即，单调递减，所以，又，所以当时，，又当时，，所以不等式可转化为，作出函数的大致图象如图所示，由图可知当且时，，故选：C．【点睛】求解本题的关键是利用导数得到函数的单调性，然后结合得到 的正负，最后数形结合求解即可．8.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用三角恒等变换化简，然后将问题转化为对恒成立，由换元法，令，将问题进一步转化为对恒成立，然后利用柯西不等式求解最值即可．【详解】解：因为，所以对任意恒成立，转化为对恒成立，令，则，所以对恒成立，即对恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以，即，所以实数的取值范围为．故选：A．二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.函数f(x)=Asin（2x+φ）在上是单调函数的一个充分条件是（）A.A＞0，B.A＞0，C.A＜0，D.A＜0，【答案】BD【解析】【分析】 根据充分性的定义，结合正弦型函数的单调性逐一判断即可.【详解】A：当A＞0，时，，当时，，显然不是的子集，所以函数当时，不是单调函数；B：当A＞0，时，，当时，，显然是的子集，所以函数当时，单调递增函数；C：当A＜0，时，，当时，，显然不是子集，所以函数当时，不是单调函数；D：当A＜0，时，，当时，，显然是的子集，所以函数当时，是单调递减函数，故选：BD10.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】 【分析】由对数函数的单调性结合换底公式比较的大小，计算出，利用基本不等式得，而，从而可比较大小．【详解】由题意可知，对于选项AB，因为，所以，又因为，且，所以，则，所以选项A错误，选项B正确；对于选项CD，，且，所以，故选项C正确，选项D错误；故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的单调性，利用单调性比较对数的大小，对于不同底的对数，可利用换底公式化为同底，再由用函数的单调性及不等式的性质比较大小，也可结合中间值如0或1或2等比较后得出结论．11.已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（）A.函数是周期为4的周期函数B.C.当时，D.不等式的解集为【答案】ABD【解析】【分析】根据函数为偶函数知函数的对称轴为，进而由对称轴得，结合求得函数是周期为4，由奇函数知求出，然后根据分段函数求解析式即可求出在上的解析式，接下来解不等式即可，最后选项逐个排除即可选出正确结果.【详解】对于选项A，由函数为偶函数得函数的对称轴为，故得，又，所以，从而得，所以函数是周期为4的周期函数，故选项A正确；对于选项B，又奇函数当时，，故得，解得，所以当时，． 所以，故选项B正确；对于选项C，当时，，所以，故选项C不正确；对于选项D，根据函数的周期性，只需考虑不等式在一个周期上解的情况即可．当时，由，解得，故得；当时，由，解得，故得，综上可得不等式在一个周期上的解集为，所以不等式在定义域上的解集为，故选项D正确．综上ABD正确．故选：ABD.【点睛】本题的关键在于根据已知条件判断出函数的周期，然后结合奇偶性和对称性求出一个周期上的解析式.12.已知函数，则下列说法正确的是（）A.只有一个极值点B.设，则与的单调性相同C.在上单调递增D.有且只有两个零点【答案】ACD【解析】【分析】利用的二次求导，得到，，从而存在，使得，结合函数极值点的定义即可判断选项，求出的解析式，然后利用导数研究其单调性即可判断选项，利用函数单调性的结论即可判断选项．利用函数的极值点即可判断选项.【详解】解：由题知，，，所以在上单调递增，当时，；当时，，所以存在 ，使得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以有且只有一个极值点，故A正确；因为，所以，所以，所以，故的一个极值点为0，所以与的单调性不相同，故B错误；因为与在上都是单调递增，所以在上单调递增，故C正确；因为有且只有一个极值点，，且，所以在和上各有一个零点，所以有且只有两个零点，故D正确．故选：ACD．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数直接进行求值即可．【详解】∵函数，∴，∴故答案为：.14.设，则等于________. 【答案】【解析】【分析】利用两角和的正弦公式可得，平方得，进而求出的值.【详解】由得，两边平方得，所以.故答案为：.【点睛】本题考查二倍角的正弦，考查两角和的正弦，考查计算能力，属于基础题.15.设，，且，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】由得到，再将化为积为定值形式，根据基本不等式可求得结果.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16.若对于恒成立.当时，的最小值为_________；当 时，的最小值是____________.【答案】①.1②.【解析】【分析】令得到，构造函数，则求出，即可求出的最小值；作出的图像，结合函数图象数形结合确定的最小值.【详解】当时，，令，则，令，解得：，且当时，单调递增；当时，单调递减，所以，因此，故的最小值为，的图像如下所示：由于，而点是直线与轴的交点，因为，由图象显然虚线不符合题意，实线中直线与函数相切时，在轴上的截距较大，其中当直线与函数相切且切点为函数与轴的交点时，截距最大，令，所有函数与轴的交点为，故，即，故.故答案为：1，. 【点睛】恒成立问题解题思路：（1）参变量分离：（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.四､解答题：本题共6小题，共70分，写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.是定义在上的奇函数，且.（1）求，的值；（2）判断函数的单调性（不需证明），并求使成立的实数的取值范围.【答案】（1），；（2）是奇函数，.【解析】【分析】（1）利用函数为奇函数，得，又由已知条件代入求解即可得出结果；（2）由（1）知，在上是增函数，利用函数的定义域，奇偶性和单调性即可得出结论.【详解】（1）是定义在上的奇函数，则，得，解得，经检验，时，是定义在上的奇函数；（2）由（1）知，在上是增函数，又因为是定义在上的奇函数，由，得，所以，即①，又，即②， ，即③，由①②③得，解得.故的取值范围是.【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求参数以及利用函数的定义域，奇偶性和单调性求解不等式的问题.属于中档题.18.已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【详解】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”. (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点.（1）证明：点F在线段上移动时，为直角三角形；（2）若F为线段的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得：，再利用线面垂直的性质定理判定定理及其正方形的性质可得：平面，进而证明平面，即可得出结论.（2）由题意，以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，令，易知平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，可得：.利用向量夹角公式即可得出.【详解】（1）证明：因为，E为线段的中点，所以，因为底面，平面，所以，又因为底面为正方形，所以，又，所以平面，∵平面，∴，因为，所以平面，因为平面，所以，所以点F在线段上移动时，为直角三角形.（2）由题意，以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，令，则，，，， 易知平面的一个法向量为；设平面的法向量为，则，可得：，，取，所以，由图可知：二面角的平面角为钝角，因此余弦值为.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，属于中档题.20.已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.（1）求的解析式与单调递减区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.【答案】（1），递减区间为，（2）【解析】【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；（2）利用图象变换法则求得g(x)的函数表达式，解方程求得g(x)的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得.【小问1详解】 由题意，图象的相邻两对称轴间的距离为，的最小正周期为，即可得，又为奇函数，则，，又，，故，令，得函数的递减区间为，【小问2详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，又，则或，即或.令，当时，，画出的图象如图所示：有两个根,关于对称，即, 有,在上有两个不同的根，,；又的根为，所以方程在内所有根的和为.21.据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过的高速年均增长，针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k，并分成以下组，其统计结果及产品等级划分如下表所示：质量指标产品等级级级级级废品频数试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）.（1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.记表示某天从生产线上随机抽取的个包装胶带中质量指标值在区间之外的包装胶带个数，求及的数学期望（精确到）；（2）已知每个包装胶带的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表所示：.质量指标利润假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为万元（含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由.参考数据：若随机变量，则， ，，，【答案】（1），；（2）不能，理由见解析.【解析】【分析】（1）计算出样本的平均数，可得出，利用原则可求得的值，利用独立重复试验的概率公式可求得的值，利用二项分布的期望公式可求得的值；（2）求得每个包装胶带的利润关于的函数关系式，利用导数求得的最大值，由此可求得该生产线的年盈利的最大值，进而可得出结论.【详解】（1）由题意可得中间值概率则样本平均数，，而，从而质量指标值在区间之外的概率为，则，X的数学期望为；（2）由题意可得该包装胶带的质量指标值与对应的概率如下表所述质量指标利润故每个包装胶带的利润， 则，令，可得，故当时，则，当时，.所以当时，取得最大值，（元）,由已知可得改生产线的年产量为万个，故该生产线的年盈利的最大值为（万元），而万元万元，故该化工厂不能在一年之内通过销售包装胶带收回投资.【点睛】本题考查利用原则求概率，利用二项分布的期望公式计算随机变量的数学期望，同时也考查了利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于中等题.22.已知，函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）设是的导数.证明：（i）在上单调递增；（ii）当时，若，则.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用的二阶导数来求得的单调区间.（2）（i）利用导数证得，从而证得在上递增.（ii）利用差比较法证得和，由此得到，从而证得结论成立.【详解】（1）的定义域是.求导得.令，则.因为，等号成立当且仅当，所以在上单调递增. 注意到，所以在上，在上.所以在上单调递减，在上单调递增.（2）（i）的定义域是.求导得.当时，，所以.设函数，则.令，得.因为在上单调递增，所以在上，在上.因此在上单调递减，在上单调递增.于是，即.所以在上单调递增.（ii）我们只需要证明当时，的最大值不大于的最大值.由（i）知在上单调递增.注意到，所以在上，在上.所以函数，在上单调递减，在上单调递增.故.注意到，所以，.而 ，所以，即证得若，则.【点睛】在利用导数求函数单调区间时，若一阶导数无法求出，可考虑利用二阶导数来进行求解.