四川省成都市成华区某校2023-2024学年高二上学期12月月考数学Word版含解析.docx

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2023-2024学年度高2022级（上）阶段性考试（三）数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校高一､高二､高三的住校生人数分别为120，180，150，为了解他们对学校宿舍的满意程度，按人数比例用分层抽样的方法抽取90人进行问卷调查，则高一､高二､高三被抽到的住校生人数分别为（）A.12，18，15B.20，40，30C.25，35，30D.24，36，302.已知向量，且，其中，则（）A.4B.－4C.2D.－23.如图，在空间四边形中，，，，点满足，点为的中点，则（）A.B.C.D.4.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（）A.B.C.D. 5.圆与直线位置关系A.相切B.相离C.相交D.不能确定6.已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（）A.3B.3或7C.5D.77.已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（）A.5B.6C.7D.88.已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是()A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线，则下列说法正确的是（）A.若，则曲线C是圆B.若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆C.若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线D.曲线C可以是抛物线10.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（）A.与互斥B.C.D.与相互独立11.已知抛物线：，为坐标原点，直线交抛物线于，两点，若，则（） A.B.直线过定点C.的最小值为D.的最小值为212.如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，点是正方形面内（包含边界）动点，则（）A.与所成角为B.平面截正方体所得截面的面积为C.平面D.若，则三棱锥体积最大值是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.甲、乙两名优秀大学毕业生准备应聘某世界五百强企业，甲通过面试的概率是，乙通过面试的概率是，且甲、乙是否通过面试是相互独立的．那么这两名大学生至少有一名通过面试的概率为______．14.数据，，，的平均数为6，方差为4，若数据，，，的平均数为，方差为，则______．15.已知点在曲线上运动，则的最大值为__________．16.双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）将于2023年7月28日在四川成都开幕，这是中国西部城市第一次举办世界性综合运动会.为普及大运会相关知识，营造良好的赛事氛围，某学校举行“大运会百科知识”答题活动，并随机抽取了20名学生，他们的答题得分（满分100分）的频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中值及这20名学生得分的80%分位数；（2）若从样本中任选2名得分在内的学生，求这2人中恰有1人的得分在内的概率18.已知圆，圆上存在关于x－y+1=0对称的两点.（1）求圆的标准方程；（2）过点直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为中点.（1）证明：直线平面；（2）求点到平面的距离.20.已知过点的直线与双曲线交于.（1）求与双曲线共渐近线且过点的双曲线的方程；（2）若线段的中点为，求直线的方程和三角形面积.21.如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙. （1）求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.22.动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由. 成都列五中学2023-2024学年度（上）阶段性考试（三）高2022级数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校高一､高二､高三的住校生人数分别为120，180，150，为了解他们对学校宿舍的满意程度，按人数比例用分层抽样的方法抽取90人进行问卷调查，则高一､高二､高三被抽到的住校生人数分别为（）A.12，18，15B.20，40，30C.25，35，30D.24，36，30【答案】D【解析】【分析】由题意求出抽样比，根据抽样比求高一､高二､高三被抽到的住校生人数即可.【详解】三个年级的住校生一共有人，∴抽样比为，故三个年级抽取的人数分别为，，.故选：D.2.已知向量，且，其中，则（）A.4B.－4C.2D.－2【答案】B【解析】【分析】由两向量的横坐标可以看出，，则可得到的值.【详解】由，设，则有，可解得，，所以.故选：B.3.如图，在空间四边形中，，，，点满足，点为的中点，则（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的几何体，利用空间向量线性运算求解即得.【详解】在空间四边形中，，点为的中点，则.故选：B4.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，写出直线方向向量，利用夹角公式，可得答案. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设，则，，，，由分别为的中点，则，，取，，设异面直线与的夹角为，.故选：C.5.圆与直线的位置关系A.相切B.相离C.相交D.不能确定【答案】C【解析】【分析】据题意，先求出直线过定点（1,1），再判断出点与圆的位置关系，可得直线与圆的位置关系.【详解】直线化简为易知直线过定点(1,1)而知点在圆内直线与圆相交.故选：C.【点睛】本题目考查直线过定点的问题以及点与圆的位置关系，注意没必要联立方程解方程组，然后用判别式来求解，这样子运算量较大，属于中档题.6.已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F 的距离等于（）A.3B.3或7C.5D.7【答案】D【解析】【分析】利用双曲线标准方程和定义，求解到另一个焦点的距离.【详解】由题意可知，,，则，所以或，又因为,所以，故选：D.7.已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（）A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】抛物线的准线的方程为，过作于，根据抛物线的定义可知，则当三点共线时，可求得最小值，答案可得.【详解】解：抛物线：焦点为，准线的方程为，如图，过作于，由抛物线的定义可知，所以 则当三点共线时，最小为.所以的最小值为.故选：C.8.已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】连接，设直线、分别与圆切于点A、B，，根据题意得到，在直角三角形中，利用正弦函数的定义得到，再结合，得到的离心率的取值范围．【详解】连接，当不为椭圆的上、下顶点时，设直线、分别与圆切于点A、B，，∵存在、使得，∴，即，又，∴，连接，则，∴．又是上任意一点，则，又，∴， 则由，得，又，∴．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知曲线，则下列说法正确的是（）A.若，则曲线C是圆B.若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆C.若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线D.曲线C可以是抛物线【答案】AC【解析】【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的有关知识求得正确答案.【详解】A选项，当时，曲线，表示圆心在原点，半径为的圆，所以A选项正确.B选项，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，B选项错误.C选项，当时，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确.D选项，由于是非零实数，所以的最高次项都是，所以曲线不可能是抛物线，D选项错误.故选：AC10.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（）A.与互斥B.C.D.与相互独立 【答案】BCD【解析】【分析】列出两次出现的点数组，由互斥事件与对立事件的定义可判断A选项；由对立事件和独立事件的概率公式可判断BCD选项.【详解】先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组如下表所示：第二次第一次123456123456共有种，表示事件“两次掷出的点数相同”,表示事件“两次掷出的点数不同”，其中包括，即与不互斥，故A错误；“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷的点数都是偶数”，故B正确；表示事件“第一次为奇数，第二次为偶数”共9种：，故C正确；事件“第二次掷出的点数是偶数”共18种；，事件“两次掷出的点数相同”共6种：，表示事件“两次为相同的偶数”共3种：，即，与相互独立，故D正确. 故选：BCD11.已知抛物线：，为坐标原点，直线交抛物线于，两点，若，则（）A.B.直线过定点C.的最小值为D.的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】设直线的方程为联立直线和抛物线方程并消去，利用韦达定理可求得，在把转化为坐标，可求得，并进一步计算可判定直线所过的定点，继而判断出;利用三角形面积公式,进一步计算即可求出最小值，可判断;根据，把变化为，展开利用基本不等式即可判定【详解】设直线的方程为联立，得，则，又，则即所以，(舍），，则即，所以直线的方程为则直线过定点，故正确；，当时，等号成立，即的最小值为，故错误；因为，则， 当且仅当，即时，等号成立，故正确.故选：12.如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，点是正方形面内（包含边界）动点，则（）A.与所成角为B.平面截正方体所得截面的面积为C.平面D.若，则三棱锥的体积最大值是【答案】BCD【解析】【分析】A选项，如图建立以A为原点的空间直角坐标系，利用空间向量可判断选项；做出截面求得截面面积可判断B；利用线线平行可得线面平行判断C，求得P的轨迹方程可求得三棱锥的体积最大值判断D.【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，， ∴，，，对A选项，，则直线与所成角为，故A错误；对B选项，由平面在两平行平面上的交线互相平行，取的中点的中点，的中点，连接，延长一定与交于一点，所以四点共面，同理可证四点共面，则过点作正方体的截面，截面为正六边形，边长为，则正六边形的面积为，故B正确.由正方体，可得，∵分别为的中点，∴，∴平面平面，∴平面，故C正确；如图，面，又面，故，同理，又，根据题意可得，设，又， ∴，整理得，∴在正方形面内(包括边界)，是以为圆心，半径的圆上的点，令，可得，∴当为圆与线段的交点时，到底面的距离最大，最大距离为，∴三棱锥的体积最大值是，故D正确.故选:BCD.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是建立空间直角坐标系，用向量的方法研究点线面的位置关系及数量计算.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.甲、乙两名优秀大学毕业生准备应聘某世界五百强企业，甲通过面试的概率是，乙通过面试的概率是，且甲、乙是否通过面试是相互独立的．那么这两名大学生至少有一名通过面试的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据相互独立事件的概率和对立事件的概率之和等于1即可求解．【详解】甲乙两射手的射击相互独立，甲乙两射手同时瞄准一个目标射击且目标被射中的对立事件是：甲乙二人都没有射中目标，∴目标被射中的概率为．故答案为：．14.数据，，，的平均数为6，方差为4，若数据，，，的平均数为，方差为，则______．【答案】 【解析】【分析】根据已知数据的平均数和方差，利用性质，求出所求数据的平均数和方差.【详解】数据，，，的平均数为6，数据，，，平均数,数据，，，的方差为4，数据，，，的方差,.故答案为：.15.已知点在曲线上运动，则的最大值为__________．【答案】##【解析】【分析】曲线表示以原点为圆心，2为半径的上半个圆，表示上半圆上的点与连线的斜率，作出图形，可知当直线与半圆相切时的斜率即得解.【详解】变形为，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，在上半圆上，表示点与连线的斜率，由题意得，当直线与半圆相切时斜率最大，设直线与半圆相切时直线斜率为，直线方程，即，因此，解得（由图舍去），所以的最大值为. 故答案为：16.双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为__________．【答案】或【解析】【分析】根据题意分析交点，的分布情况，利用正余弦定理求出和的关系，进而求出离心率.【详解】不妨设双曲线的标准方程为，则，，，由题意知，切线与双曲线的交点，的分布可以是在双曲线的两支和双曲线的一支两种情况：设过的直线与圆相切于点，则在中，，，，①当，两点位于双曲线的一支时，，且点的位置如图所示，在中，由正弦定理得，，， ，，在中，，即，化简得，即；②当，两点位于双曲线的两支时，，且点位于双曲线的右支，如图所示，在中，由正弦定理得，，，，在中，，即，化简得，即.综上，的离心率或.故答案为：或. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）将于2023年7月28日在四川成都开幕，这是中国西部城市第一次举办世界性综合运动会.为普及大运会相关知识，营造良好的赛事氛围，某学校举行“大运会百科知识”答题活动，并随机抽取了20名学生，他们的答题得分（满分100分）的频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中的值及这20名学生得分的80%分位数；（2）若从样本中任选2名得分在内的学生，求这2人中恰有1人的得分在内的概率【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由直方图知，求解可得；设分位数为.由前3组的频率之和为0.65，前4组的频率之和为0.9，可得；（2）由已知可得：得分在内的人数为，记为，得分在内的人数为，记为，从而利用列举法，结合古典概型概率公式即可求解.【小问1详解】由直方图知，.设分位数为.前3组的频率之和为0.65，前4组的频率之和为0.9.，且.故这20名学生得分的分位数为.【小问2详解】由已知可得：得分在内的人数为，得分在内的人数为. 记得分在内的学生为，得分在内的学生为.则所有的样本点为：，，共15个，其中恰有1人的得分在内的样本点为：,，共8个，故这2人中恰有1人的得分在内的概率.18.已知圆，圆上存在关于x－y+1=0对称的两点.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）配方后得到圆心为，利用x－y+1=0过圆心，求出，进而得到圆的标准方程；（2）根据弦长公式得到圆心到直线的距离，分直线斜率不存在和存在两种情况，进行求解直线的方程【小问1详解】配方得：，所以圆心为，因为圆上存在关于x－y+1=0对称的两点，所以x－y+1=0一定经过圆心，即，解得：，所以圆的标准方程为小问2详解】设圆心到直线距离为，由圆的弦长公式得，解得，①当斜率不存在时，直线方程为，满足题意；②当斜率存在时，设直线方程为，则，解得， 所以直线的方程为；综上，直线方程为或19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为的中点.（1）证明：直线平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，利用平行的传递性构建平行四边形，证得，则直线平面可证.（2）建立合适的空间直角坐标系，分别求得平面法向量，直线的方向向量，利用点到平面的距离公式计算即可.【小问1详解】证明：取中点，点均为中点，，又正方形中，， 四边形为平行四边形，，又平面平面，直线平面；【小问2详解】因为平面为正方形，且底面，所以两两互相垂直，所以分别以，，为轴建立空间直角坐标系，则有可得，设平面法向量为，则有，即，令，得，所以点到平面的距离.则点到平面的距离为.20.已知过点的直线与双曲线交于.（1）求与双曲线共渐近线且过点的双曲线的方程；（2）若线段的中点为，求直线的方程和三角形面积. 【答案】（1）（2），12【解析】【分析】（1）设所求双曲线为，将代入即可求解.（2）利用点差法求出直线的方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理即可求解.【小问1详解】设所求双曲线为，点代入得【小问2详解】设，，，，点在双曲线上所以，相减得，即所以所求的直线的方程为设，，，，则由得所以， 代入的所以.21.如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点是线段的中点【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到，，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性质得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设出的坐标，求出平面的法向量，从而列出方程，求出的值，确定点位置.【小问1详解】证明：连接，取线段的中点，连接，在Rt中，，， 在中，，由余弦定理可得：，在中，，又平面，平面，又平面∴平面平面，在中，，∵平面平面平面，平面.【小问2详解】过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，平面的法向量，在平面直角坐标系中，直线的方程为，设的坐标为，则， 设平面的法向量为，，所以，令，则，由已知，解之得：或9（舍去），所以点是线段的中点.22.动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）是定值，定值为【解析】【分析】（1）根据题意列式化简方程即可；（2）直线的方程分别为，设，根据直线与圆相切可得是方程的两个根，结合韦达定理与椭圆的方程可得，进而求得关于的表达式，代入求解即可【小问1详解】由题意，点与定点的距离，点到直线的距离 ，所以，即，化简得，故曲线的方程为；【小问2详解】由题意可得，直线的方程分别为，设.由直线与圆相切可得，同理，所以是方程的两个根，所以，所以，，因为是曲线上的一动点，所以，则有，联立方程，所以，所以，同理所以，因为，所以，所以.