四川省泸州市合江县马街中学校2023-2024学年高二上学期期末数学试题 Word版含解析.docx

《四川省泸州市合江县马街中学校2023-2024学年高二上学期期末数学试题 Word版含解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

马街中学2023年秋期高二期末考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知双曲线，双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用已知条件，求解、，即可得出双曲线的离心率.【详解】双曲线，可得，，所以双曲线的离心率为：.故选：D.【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的离心率，一般计算出、、的值或者通过三者之间的等量关系进行计算，考查计算能力，属于基础题.2.已知向量a→=(1，1，k)，b→=(−1，0，−1)，c→=(0，2，1)，且向量与互相垂直，则的值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的坐标运算和向量垂直数量积为0可解.【详解】解：根据题意，易得a→−2b→=(1， 1， k)−2(−1， 0， −1)=(3， 1， k+2)，∵与两向量互相垂直，∴0+2+k+2=0，解得.故选：D 3.如果事件，互斥，且事件，分别是，的对立事件，那么（）A.是必然事件B.是必然事件C.与一定互斥D.与一定不互斥【答案】B【解析】【分析】根据事件，互斥，可得，即可判断正确.【详解】由于事件与互斥，，则(为全集)，是必然事件.故选：.【点睛】本题主要考查的是互斥事件、对立事件的定义，而互斥事件、对立事件的定义是判断两个事件是不是互斥事件、对立事件的一种最有效、简便的方法由对立事件的定义可知对立事件首先是互斥事件，并且其中一个一定要发生，因此两个对立事件一定是互斥事件，但两个互斥事件却不一定是对立事件，解题时一定要弄清两个事件之间的关系，是基础题.4.直线截圆所得的弦长（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】方法一：先求圆心坐标及圆的半径，再求圆心到直线的距离，结合直线与圆的相交弦长公式求弦长.方法二：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，利用两点距离公式求弦长；方法三：联立直线与圆方程，利用设而不求法结合弦长公式求弦长.【详解】（方法1：几何法）圆的半径r＝，圆心坐标为，圆心到直线的距离，所以. （方法2：两点距离公式）由，消去得，解得或，直线与圆的交点坐标为，，则．（方法3：韦达定理）由，消去得，方程的判别式，设，由韦达定理得，，，所以．故选：C．5.记为等差数列的前项和，若，则数列的通项公式（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析】根据等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，根据等差数列通项公式得到结果.【详解】设等差数列的公差为，则，解得：，.故选：B.6.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第2天所织布的尺数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】 先根据题意，得到该女子每天所织布的长度构成等比数列，根据题意求出首项和公比，即可求出结果.【详解】由题意可得，该女子每天所织布的长度构成等比数列，设公比为，由题意知，首项为，前项和为，由题意可得，解得，所以第二天织的布为.故选：C.【点睛】本题主要考查等比数列的基本量运算，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型.7.直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面所成角的正弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出．【详解】如图所示，取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，所以，平面的一个法向量为设AM与平面所成角为，向量与所成的角为，所以，即AM与平面所成角的正弦值为．故选：B．8.已知，分别为椭圆的左、右焦点，点M为线段的中点（O为坐标原点），点P在椭圆上且满足轴，点M到直线的距离为，则椭圆的离心率为（）A.或B.C.或D.【答案】A【解析】【分析】根据几何关系求出P和M的坐标，写出直线的方程，根据M到的距离即可求出离心率．【详解】∵轴，∴将代入椭圆可得，∴不妨设，∴直线的斜率为，则直线的方程为，即，则到直线的距离为，整理得，所以，解得或， 即或，则椭圆的离心率为或故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案.【详解】解：A中，＋2＋2＋＝＋2＋＝＋＋＋＝＋；B中，2＋2＋3＋3＋＝2＋3＋＝；C中，＋＋＝＋；D中，－＋－＝＋＋＋.故选：BD.10.已知直线，圆，点，则下列说法正确的是（）A.点在直线上B.点在圆上C.直线与圆相离D.直线与圆相切【答案】ABD【解析】【分析】将点M代入直线和圆的方程，根据是否满足方程即可判断在不在直线和圆上，根据距离等于半径，可推断直线与圆相切.【详解】解：将点代入直线l的方程，满足 ，所以点M在圆C上，A选项正确；将点代入圆C的方程，满足，所以点M在圆C上，B选项正确；圆心到直线的距离直线与圆相切，C选项错误，D选项正确；故选：ABD.11.已知数列满足，，，，是数列的前n项和，则下列结论正确的有（）A.B.数列是等比数列C.数列是等差数列D.【答案】BCD【解析】【分析】直接已知式中由求得，判断A选项，变形后可判断B选项，由B选项结论求出，并得出，判断C选项，由等比数列前项和公式求和判断D选项．【详解】时，，而，故选项错误；，即，又，故B选项正确；，故选项正确；，故D选项正确.故选：BCD．12.已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段 ，的长分别为，，则（）A.若，的斜率分别为，，则B.C.的最小值为D.的最小值为【答案】AD【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程：，设点，，利用点线距离公式求出，，再利用直线之间的关系求出直线，的斜率，结合选项选出正确答案即可．由均值不等式及为定值可判断C正确，由余弦定理可得的最小值，判断D正确．【详解】如图所示，设，，则．由题设条件知：双曲线的两渐近线：，．设直线，的斜率分别为，，则，，所以，故选项正确；由点线距离公式知：，，，故B错误；，所以C错误；由四边形中，所以， ，当且仅当时等号成立，所以D正确，故选：AD．第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字后再放回，再随机地抽取一张，记下数字，则两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为___________．【答案】【解析】【详解】试题分析:抽取的所有能有共九种,其中的数字之和都是的倍数,所以两次抽得的数字之和为的倍数的概率为,故应填答案.考点：古典概型公式及运用．14.等差数列的前项和为，且，则______【答案】【解析】【分析】根据等差数列的前项和公式及下标和性质计算可得.【详解】解：根据等差数列的前项和公式及性质可得，解得，故答案为：.15.若直线：与：平行，则的值为_____．【答案】-7【解析】【分析】由已知条件可得关于m的方程，解方程即可求出m的值，代入直线方程验证即可.【详解】因为,所以有，解之得,或.当时，直线重合,舍去. 【点睛】本题主要考查两直线平行的判定条件，属于基础题型.16.已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】在中，由结合正弦定理可得，在设抛物线上点，列式求解即可得，则可求.【详解】因为抛物线的准线，焦点为，准线与的对称轴交于点，所以，，因为在中，，所以由正弦定理可得，,因为为抛物线上一点，所以可设为由此可得，平方化简可得：，即，可得,故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2 分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求；（2）求事件“且甲获胜”的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.（2）根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.【小问1详解】就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此.【小问2详解】“且甲获胜”，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得分，后两球均为甲得分．因此事件“X＝4且甲获胜”的概率为：.18.在中，已知点，的内角平分线BD所在的直线方程是，边上的中线所在的直线方程是，求：（1）点的坐标；（2）边所在直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出点，根据题意点在直线方程上，且线段的中点在中线所在的直线方程上，列出方程组求解即可； （2）先求出点关于直线的对称点，则点在直线上，从而求出边所在直线的方程.【小问1详解】设点，依题意可知：点在直线方程上，且线段的中点在中线所在的直线方程上，又点，则有：，解得：，所点的坐标为：.【小问2详解】设点关于直线的对称点为，则的中点坐标为，，于是，解得：，则，由（1）知，所以，所以边所在直线的方程为：，即.19.已知圆的圆心在直线上，且过和两点.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）假设圆心坐标，利用可构造方程求得圆心和半径，由此可得圆方程；（2）设，根据，由即可得到所求的轨迹方程.【小问1详解】设圆心，则，即，解得：，，又圆心，圆的标准方程为；【小问2详解】为弦中点，，即，设，则，，，即点的轨迹方程为：.20.如图，在正四棱柱中，，，点在棱上，且平面．（1）求的值；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】 【分析】如图，以点为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，（1）设，由平面，可得，从而数量积为零，可求出的值，进而可求得的值；（2）利用空间向量求二面角的余弦值【详解】解：（1）如图，以点为原点，，，方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，则点，，，．则，．因为平面，所以，所以，解得或．当时，，，；当时，，，．（2）因为，由（1）知，．平面的一个法向量为．设平面的法向量为，因为，，所以令，则．所以，由图知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为．21.设为数列的前n项和，已知．（1）求通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据即可求出；（2）根据错位相减法即可解出．【小问1详解】因为，当时，，即；当时，，即，当时，，所以，化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以．【小问2详解】因为，所以，，两式相减得，，，即，．22.已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标．【答案】（1）（2）证明见解析，定点【解析】【分析】（1）根据焦点三角形的面积和点坐标求解出的值，则的值可求，故椭圆的标准方程可知；（2）当直线的斜率不存在时，直接分析即可；当直线的斜率存在时，设出的方程并与椭圆方程联立得到横坐标的韦达定理形式，将斜率关系转化为坐标运算，从而求解出直线方程中参数的关系，由此可求直线所过的定点.【小问1详解】 因为点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为，所以且，所以，，所以，所以椭圆的标准方程：；【小问2详解】设，当直线的斜率不存在时，则，由，解得，此时，故重合，不符合题意，所以直线的斜率一定存在，设不经过点的直线方程为：，由得，且，即，所以，因为，所以，所以，所以，即，化简可得：，因为，所以，所以，所以直线必过定点． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中过定点问题的两种求解方法：（1）若设直线方程为或，则只需要将已知条件通过坐标运算转化为之间的线性关系，再用替换或用替换代入直线方程，则定点坐标可求；（2）若不假设直线的方程，则需要将直线所对应线段的两个端点的坐标表示出来，然后选择合适的直线方程形式表示出直线方程，由此确定出定点坐标.